В прямоугольном треугольнике KMN гипотенуза KN на 15см больше меньшего из катетов. Найти этот катет и гипотенузу, если ∠К= 60 градусов.

Обозначения:

R — радиус описанной окружности;

r — радиус вписанной окружности;

— радиус вневписанной окружности, соответствующей стороне ;

— углы, противолежащие сторонам a, b и c соответственно;

— высота, соответствующая стороне a.

— теорема синусов.

— формулы площади треугольника.

— связь между радиусами вневписанных окружностей, длинами высот и радиусом вписанной окружности.

— менее известные формулы площади треугольника.

— формула Эйлера, где d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

— аналог формулы Эйлера для вычисления расстояния между центрами вневписанной (соответствующей стороне a) и описанной окружностей.

***

Этого хватит? Ведь записать «все» формулы невозможно: комбинируя имеющиеся формулы и находя новые зависимости, можно создать практически бесконечный список.

Пусть имеем наклонный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1.

Проекция точки А1 на основание попадает на длинную диагональ ромба в точку А0.

Проведём из точки А1 высоту А1А2 на ребро АД основания.

Отрезок АА2 равен А1А2 и равен 6/√2 = 3√2 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник А1А2А0.

А1А0 это высота параллелепипеда.

Отрезок А0А2 лежит против угла в 30 градусов (диагональ ромба делит угол пополам). А0А2  = АА2*tg30° = 3√2/√3 см.

Отсюда находим высоту параллелепипеда:

А1А0 = √((3√2)² - (3√2/√3)²) = √(18 - 6) = √12 = 2√3 см.