Рассмотрим точку M, которая совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC; Поскольку точки A1, B1, C1 - концы медиан, проведенных к соответствующим сторонам, то все слагаемые в сумме равны, равенство очевидно. Рассмотрим высоту BB1; Точка M лежит на ней. Будем двигать точку М по этой высоте. BC1 и A1B остаются равными уменьшаясь, а AC1 и A1C увеличиваясь, также остаются равными. Отрезки AB1 и B1C остаются равными. Значит равенство сохраняется. Проведем теперь прямую перпендикулярную высоте BB1; Пусть угол между этой прямой и перпендикуляром, проведенным из точки M (на рис. она посередине) равен β. Заметим, что β=60/2=30°; Пусть сдвиг точки по прямой равен x; С одной стороны, одна сумма изменилась на величину -xsinβ - xsinβ + x = -x+x=0; Другая значит тоже изменилась на 0. Итак, сумма осталась постоянной. Мы двигали точку в двух ортогональных направлениях. Используя суперпозицию (наложение движений) приходим к выводу, что равенство выполняется при любом положении точки M
Сторона основания
a = 4 см
Боковое ребро
b = 6 см
Угол между боковым ребром и плоскостью основания
β = 30°
Радиус описанной окружности основания
r/b = cos(β)
r = b*cos(β)
r = 6*cos(30°) = 6*√3/2 = 3√3 см
Проблема в том, что неизвестно число сторон основания
Пусть число сторон основания пирамиды N
Тогда угол, под которым видна сторона из центра основания 360/N
Теорема косинусов для треугольника, образованного стороной основания a и двумя радиусами описанной окружности основания
a² = 2r² - 2r²*cos(360/N)
a² = 2r²(1 - cos(360/N))
1 - cos(360/N) = a²/(2r²)
cos(360/N) = 1 - a²/(2r²)
cos(360/N) = 1 - 16/(2*9*3) = 1 - 8/27 = 19/27
360/N = arccos(19/27)
N = 360/arccos(19/27)
N ≈ 7.9513928
Как построить пирамиду с нецелым числом сторон основания - я не знаю :)
В задаче ошибка
Рассмотрим точку M, которая совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC; Поскольку точки A1, B1, C1 - концы медиан, проведенных к соответствующим сторонам, то все слагаемые в сумме равны, равенство очевидно. Рассмотрим высоту BB1; Точка M лежит на ней. Будем двигать точку М по этой высоте. BC1 и A1B остаются равными уменьшаясь, а AC1 и A1C увеличиваясь, также остаются равными. Отрезки AB1 и B1C остаются равными. Значит равенство сохраняется. Проведем теперь прямую
перпендикулярную высоте BB1; Пусть угол между этой прямой и перпендикуляром, проведенным из точки M (на рис. она посередине) равен β. Заметим, что β=60/2=30°; Пусть сдвиг точки по прямой 
равен x; С одной стороны, одна сумма изменилась на величину -xsinβ - xsinβ + x = -x+x=0; Другая значит тоже изменилась на 0. Итак, сумма осталась постоянной. Мы двигали точку в двух ортогональных направлениях. Используя суперпозицию (наложение движений) приходим к выводу, что равенство выполняется при любом положении точки M