В равнобедренном треугольнике ABC основание AC = 12 см. BM – медиана, равная 8 см. Найдите: а) радиус вписанной окружности ( );

б) радиус описанной окружности ( ).

А) В прямоугольных тр-ках ДАО и ДВО NT⊥AO и МН⊥ВО.
Прямоугольные тр-ки ДАО и NAT подобны т.к. ∠А - общий. Аналогично подобны тр-ки ДВО и MКН, значит ОТ:ТА=ОН:НВ=ДN:NA=2:1.
ОА - радиус описанной окружности около основания пирамиды.
R=OA=a√3/3=30√3/3=10√3.
MN║АВ, MN║KP, значит КР║АВ, значит тр-ки АОВ и ТОН подобны по трём углам. 
ОЕ - радиус вписанной окружности в тр-ник АВС ⇒ ОЕ=СЕ/3.
ОО1:О1Е=ОТ:ТА=2:1 ⇒ О1Е=ОЕ/3=СЕ/9.
СО1=СЕ-О1Е-СЕ-СЕ/9=8·СЕ/9.
Итак, СО1:О1Е=(8СЕ/9):(СЕ/9)=8:1.
Доказано.

б) ДN:NA=2:1 ⇒ ДА:NA=3:1.
В подобных тр-ках ДАО и NAT ДA:NA=ДО:NT=3:1 ⇒ NT=ДО/3.
В тр-ке ДАО ДО²=АД²-ОА²=20²-(10√3)²=100,
ДО=10.
NT=10/3.
Так как КР║АВ, то тр-ки АВС и КРС подобны по трём углам. 
СО1:О1Е=8:1 ⇒ СЕ:СО1=9:8.
АВ:КР=СЕ:О1Е=9:8 ⇒ КР=8АВ/9=8·30/9=80/3.

В тр-ке ДАВ ДN:NA=2:1 ⇒ ДА:ДN=3:2.
AB:MN=ДА:ДN=3:2 ⇒ MN=2AB/3=2·30/3=20.
Площадь трапеции KMNP: 
S=NT·(KP+MN)/2=10·(80/3+20)/6=10(80/3+60/3)/6=10·140/18=700/9≈77.8 (ед²) - это ответ.

Проведём высоту КМ через точку О пересечения диагоналей.
Угол ВОС равен 180°-60, = 120°.
Угол ВОК = 120°/2 = 60°, а угол ОВК = 90°-60° = 30°.
Обозначим ОК = х, а ВО = 2х.
(2х)² = (3/2)²+х²,
4х²-х² = 9/4,
12х² = 9,
х = √(9/12) = √(3/4) = √3/2.
ВО = 2*(√3/2) = √3 (найдена часть диагонали).
В треугольнике АВО известны 2 стороны и один угол.
По теореме синусов находим угол ВАО.
sin BAO = (BO/AB)*sin 60° = (√3/4)*(√3/2) = 3/8.
Угол ВАО = arc sin(3/8) =  0,3843968 радиан = 22,024313°.
Находим угол АВО = 180-60-22,024303 =  97,97569°.
Вторая часть диагонали равна:
 АО = АВ*(sinABO/sinBOA) = 4*( 0.990327/(√3/2)) =  4,574124647.
Диагональ равна сумме ВО и АО:
АС = √3+ 4,574124647 =  5,440150051.
Нижнее основание АД = 2*АО*cos30° = 2*4,574124647*(√3/2) =  7,922616289.