В равнобедренном треугольнике ABC проведена биссектриса CM угла C у основания AC, ∡ CMB = 75°. Определи величины углов данного треугольника (если это необходимо, промежуточные вычисления и ответ округли до тысячных).
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов. Поэтому на рис. отметили только половину диагонали АС: АО = 14 см и два угла по 30°. В прямоугольном треугольнике катет, против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Обозначим сторону ромба х, тогда ОВ=х/2 По теореме Пифагора АВ²=АО²+ОВ² х²=14²+(х/2)² 3х²/4=196, х²=196·4/3 х=28√3/3 Площадь ромба равна произведению стороны, на высоту, проведенную к стороне, но с другой строны площадт ромба равна произведению сторон на синус угла между ними x·h=x·x·sin 60°, h=x sin 60°=(28√3/3)·(√3/2)=14 см ответ. Высота ромба равна 14 см.
А можно ещё проще. Треугольник DAB -равносторонний. Угол при вершине 60°, DA=AB Значит и углы при основании 180°-60°=120°:2=60° АО- высота, опущенная на сторону DB В равностороннем треугольнике все высоты равны, Значит и высота на сторону DA равна 14.
Цитата: "Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна 180°(n-2)". Тогда имеем уравнение: {[180°(n-2)]:n}*5 - {[180°(n-2)]:n}*(n-5) = 270. Это уравнение приводится к квадратному: 2n²-21n+40=0, откуда n1=8, n2=2,5 (не удовлетворяет условию). Итак, ответ: число сторон искомого правильного многоугольника равно 8. Проверка: Один угол восьмиугольника равен 180*6/8 = 135°. Тогда сумма пяти углов равна 135*5=675°, а сумма трех оставшихся углов равна 135*3=405°. Разница равна 675°-405°=270°
Поэтому на рис. отметили только половину диагонали АС:
АО = 14 см
и два угла по 30°.
В прямоугольном треугольнике катет, против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Обозначим сторону ромба х, тогда ОВ=х/2
По теореме Пифагора
АВ²=АО²+ОВ²
х²=14²+(х/2)²
3х²/4=196,
х²=196·4/3
х=28√3/3
Площадь ромба равна произведению стороны, на высоту, проведенную к стороне, но с другой строны площадт ромба равна произведению сторон на синус угла между ними
x·h=x·x·sin 60°,
h=x sin 60°=(28√3/3)·(√3/2)=14 см
ответ. Высота ромба равна 14 см.
А можно ещё проще. Треугольник DAB -равносторонний. Угол при вершине 60°, DA=AB
Значит и углы при основании 180°-60°=120°:2=60°
АО- высота, опущенная на сторону DB
В равностороннем треугольнике все высоты равны, Значит и высота на сторону DA равна 14.
Тогда имеем уравнение: {[180°(n-2)]:n}*5 - {[180°(n-2)]:n}*(n-5) = 270.
Это уравнение приводится к квадратному:
2n²-21n+40=0, откуда n1=8, n2=2,5 (не удовлетворяет условию).
Итак, ответ: число сторон искомого правильного многоугольника равно 8.
Проверка: Один угол восьмиугольника равен 180*6/8 = 135°. Тогда сумма пяти углов равна 135*5=675°, а сумма трех оставшихся углов равна 135*3=405°. Разница равна 675°-405°=270°