. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена
медиана AM. Из точки M на сторону AC опущен перпендикуляр MH (H
∈ AC). Известно, что AM:MC=2:1 и площадь треугольника MHC равна 6.
Найдите площадь треугольника ABC

Показать ответ

Ответ:

en228

04.06.2022 19:41

∠BAC = ∠ACD как накрест лежащие углы при AB || CD и секущей AC.

AB = CD, следовательно, ΔABK = ΔCND по гипотенузе и острому углу

У равных треугольников соответствующие элементы (стороны, углы) равны, т.е. BK = DN; CN = AK.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BKC: по т. Пифагора

BC^2=CK^2+BK^2=CK^2+36 (*)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC: по т. Пифагора

$AC^2=AB^2+BC^2~~~\Rightarrow~~~ BC^2=AC^2-AB^2$

Подставляем теперь в равенство (*), получаем

AC^2-AB^2=CK^2+36

AB² найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABK, значит

AB^2=BK^2+AK^2=36+CN^2

Все данные у нас есть, осталось решить уравнение

$AC^2-(36+CN^2)=CK^2+36\\ (2CN+KN)^2-36-CN^2=(CN+KN)^2+36\\ 4CN^2+4CN\cdot KN+KN^2-36-CN^2=CN^2+2CN\cdot KN+KN^2+36\\2CN^2+2CN\cdot KN-72=0~|:2\\ CN^2+CN\cdot KN-36=0\\ CN^2+5CN-36=0$

Получили квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант

$D=5^2-4\cdot 1\cdot (-36)=25+144=169$

$CN=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-5-13}{2\cdot 1}=-9$ - не удовлетворяет условию

$CN=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-5+13}{2\cdot 1}=4$ см

Следовательно, AC = 2*4 + 5 = 13 см, тогда

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BK=\dfrac{1}{2}\cdot 13\cdot 6=39$ см²

$S_{ABCD}=2S_{ABC}=2\cdot 39=78$ см²

Второй решения:

У треугольников ABK и BKC прямые углы равны и ∠ABK = ∠BCK, следовательно, ΔABK ~ ΔBKC, из подобия треугольников следует, что BK/CK = AK/BK

$\dfrac{6}{CN+5}=\dfrac{CN}{6}~~~\Rightarrow~~~ CN^2+5CN-36=0$

Такое же уравнение как в первом

ответ: 78 см².

0,0(0 оценок)

Ответ:

СлишкомУмная1

23.07.2022 12:23

Найдём проекции наклонных на плоскость.
L1 = 9/tg 45° = 9/1 = 9 см,
L2 = 9/tg 60° = 9/√3 = 3√3 см.
Так как в задании не сказано, в каких плоскостях проведены наклонные, то решений бесконечное множество в пределах между:
- если наклонные в одной плоскости и в одном направлении, то между концами наклонных минимальное расстояние Lmin.
Lmin = L1-L2 = 9-3√3 ≈ 3,803848 см,
- если наклонные в одной плоскости и в противоположных направлениях, то между концами наклонных максимальное расстояние Lmax.
Lmax = L1+L2 = 9+3√3 ≈ 14,19615 см.
- если наклонные проведены в плоскостях, угол между которыми 90°, то расстояние между концами наклонных равно L = √(L1²+L2²) =
=√(91+27) = √108 ≈ 10,3923 см.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия