В равнобедренном треугольнике АВС с вершиной в точке В прямая, параллельная биссектрисе угла В пересекает сторону АС в точке D, а сторону ВС в точке М. Угол CDM больше угла С на 30 градусов. Доказать , что треугольник АВС равносторонний.

AB=6cм, ВС=10 см, BH=8 cм
AB=CD=6 см, BC=AD=10 см (протвоположные стороны параллелограмма равны)

если точка H лежит на стороне AD, K на CD (рисунок)
Площадь параллелограмма равна произвеедению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону
S=AD*BK=CD*BH
Отсюда BH=AD*BK/CD
BH=10*8/6=40/3 см=13 1/3 cм

если точка K лежит на стороне AD, H на CD (рисунок аналогичный только точки Н и К поменять местами)
Площадь параллелограмма равна произвеедению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону
S=AD*BH=CD*BK
Отсюда BH=CD*BK/AD
BH=6*8/10=4.8 см

Пусть в ромбе ABCD углы B и D равны 60 градусам (противоположные углы ромба равны). Рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный, так как AB=BC, угол при вершине равен 60 градусам. Значит, 2 других угла также равны 60 градусам и треугольник ABC является равносторонним. Тогда AC=AB=BC=3 см. Высота ромба AH равна высоте равностороннего треугольника AH со стороной 3см. Площадь равностороннего треугольника со стороной a равна √3a²/4, значит, площадь треугольника ABC равна 9√3/4. По формуле площади, S=1/2ah, h=2S/a, где h - высота треугольника, a - сторона, к которой проведена высота, S - площадь треугольника. Значит, AH=(9√3/2)/3=3√3/2 см.