В равнобедренном треугольнике АВС угол В равен 120°, точки М и Н – середины сторон АВ и ВС соответственно, АВ = 4.
1) Найдите площадь треугольника АВС.
2) Найдите расстояние между серединами отрезков AВ и ВС.
3) Докажите, что треугольники АВС и МВН подобны, и найдите отношение их площадей.
4) Выясните, можно ли провести окружность через точки А, М, Н, С.
5) Найдите синус угла НМЕ, если точка Е – основание перпендикуляра НЕ, проведенного к прямой АС.

324

Объяснение:

По определению параллелограмма BC∥AD, а прямая BD является их секущей. По свойству секущей ∠ADB=∠DBC=45°. ΔABD по определению равнобедренный, и имеет основание AD, а поскольку в равнобедренных треугольниках углы при основании равны, ∠BAD=45°. По свойству углов параллелограмма при стороне, ∠ABС=135° => ∠ABD=90°. Соответственно, по свойству противоположных углов параллелограмма, ∠BDC=90° и ∠BCD=45°. Проведём высоту DH к стороне BC в треугольнике ΔBDC. Поскольку он равнобедренный, его высота совпадает с медианой и биссектрисой, то есть DH=BH=CH=a и ∠BDH=∠CDH=∠BDC/2=45°. ΔDHC равнобедренный и прямоугольный, а, значит, по теореме Пифагора, 2a²=CD²=18² => a=9√2. BC=BH+CH=2a, DH=a BC - основание параллелограмма, а DH - его высота. Площадь параллелограмма равна их произведению по одной из расчётных формул, то есть BC*DH=2a²=18²=324

В основании правильной пирамиды - правильный треугольник.  Вершина S проецируется в центр О основания.  Высота правильного треугольника СН= (√3/2)*а, где а - сторона треугольника.   СН=13√3/2.  В правильном треугольнике высота=медиана и делится центром в отношении 2:1, считая от вершины. => HO=(1/3)*CH, а СО=(2/3)*СН или СО=13√3/3, НО=13√3/6.  

По Пифагору:  

Боковое ребро пирамиды SC=√(CO²+SO²) = √(313/3).

Апофема (высота боковой грани) SH=√(НO²+SO²) = √(745/12).

Боковая поверхность Sбок = (1/2)*3*АВ*SH =(39/4)*(√(745/3).