В равнобедренном треугольнике острый угол между одной из биссектрис и одной из высот, которые выходят из разных вершин, равен 75∘. Чему может быть равен угол при основании этого треугольника? (Вариантов может быть несколько, но мне нужны все. Можно и без решения)
Дан треугольник АВС, высота ВД=8 см, АД=15 см, ДС=6 см.
Сторона АС = 15 + 6 = 21 см.
Отсюда находим площадь треугольника.
S = (1/2)ah = (1/2)*21*8 = 84 см².
Теперь используем формулы радиуса.
Радиус r вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.
Находим неизвестные стороны.
АВ = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 см.
ВС = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.
Полупериметр р = (17 + 10 + 21)/2 = 48/2 = 24 см.
Находим: r = S/p = 84/24 = 3,5 см.
Радиус R описанной окружности равен:
R = abc/(4S) = 17*10*21/(4*84) = 10,625 см.
-----------
Соединим вершины треугольника с точкой Ѕ
АЅ=ВЅ=СЅ
Если расстояние от точки вне треугольника до его вершин одинаково., то одинаковы проекции наклонных отрезков, соединяющих эту точку с вершинами: значит, вокруг треугольника можно описать окружность, и основание перпендикуляра к плоскости треугольника лежит в центре этой описанной окружности.
По условию расстояние до плоскости треугольника 3 см
АО=R
Треугольник АОЅ- египетский, и АО=4 см( проверьте по т.Пифагора).
Радиус описанной вокруг правильного треугольника окружности равен 2/3 его высоты. ⇒
Высота треугольника АН=4:(2/3)=6 см