В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла A до пересечения со стороной BC в точке K. Отрезок AK=8 см, угол между диагоналями прямоугольника равен 30°. Найдите стороны и площадь прямоугольника ABCD.
Обозначим точку пересечения диагоналей О.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
∆АОВ и ∆COD - равнобедренные, углы при АВ и CD равны по (180°-30°):2=75°⇒
в ∆ АВС ∠BСA=90°-75°=15°
∆ АВК - прямоугольный с острым углом ВАК=45°⇒
∠ВКА=45° ⇒ ∆ АВК равнобедренный.
АВ=АК*sin45°=(8*√2)/2=4√2 см
В ∆ АВС по т.синусов
АВ:sin15°=BC:sin75°
По таблице синусов
sin 15° =0,2588
sin75°=0,9659
4√2:0,2588=ВС:0,9659⇒
ВС=21,1127 см
S=AB•ВС=4√2•21,1127≈ 119,426 см²
------
Как вариант:
Найти из прямоугольного ∆ АВС диагональ АС:
АС=АВ:sin 15º=(4√2):0,2588
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
S=0,5•d₁•d₂•sinφ , где
d₁ и d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними/
ответ: Пусть дан четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Если x — коэффициент пропорциональности, тогда ∠A = 2 * x, ∠B = 6 * x, ∠C = 7 * x.
1. В окружность можно вписать только такой четырехугольник, у которого суммы противолежащих сторон попарно равны, то есть в данном по условию четырехугольнике ABCD должно выполняться равенство:
∠A + ∠C = ∠B + ∠D.
Известно, что сумма всех углов четырехугольника равна 360°, тогда:
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
Подставим данные по условию значения в оба выражения:
2 * x + 7 * x = 6 * x + ∠D;
2 * x + 6 * x + 7 * x + ∠D = 360°.
Мы получили системы линейных уравнений с двумя переменными.
Приведем подобные слагаемые в первом уравнении и выразим ∠D:
2 * x + 7 * x - 6 * x = ∠D;
∠D = 3 * x.
Приведем подобные слагаемые во втором уравнении и выразим ∠D:
В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла A до пересечения со стороной BC в точке K. Отрезок AK=8 см, угол между диагоналями прямоугольника равен 30°. Найдите стороны и площадь прямоугольника ABCD.
Обозначим точку пересечения диагоналей О.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
∆АОВ и ∆COD - равнобедренные, углы при АВ и CD равны по (180°-30°):2=75°⇒
в ∆ АВС ∠BСA=90°-75°=15°
∆ АВК - прямоугольный с острым углом ВАК=45°⇒
∠ВКА=45° ⇒ ∆ АВК равнобедренный.
АВ=АК*sin45°=(8*√2)/2=4√2 см
В ∆ АВС по т.синусов
АВ:sin15°=BC:sin75°
По таблице синусов
sin 15° =0,2588
sin75°=0,9659
4√2:0,2588=ВС:0,9659⇒
ВС=21,1127 см
S=AB•ВС=4√2•21,1127≈ 119,426 см²
------
Как вариант:
Найти из прямоугольного ∆ АВС диагональ АС:
АС=АВ:sin 15º=(4√2):0,2588
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
S=0,5•d₁•d₂•sinφ , где
d₁ и d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними/
Тогда S=0,5•{4√2):0,2588}²•0,5=≈ 119,426 см²
ответ: Пусть дан четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Если x — коэффициент пропорциональности, тогда ∠A = 2 * x, ∠B = 6 * x, ∠C = 7 * x.
1. В окружность можно вписать только такой четырехугольник, у которого суммы противолежащих сторон попарно равны, то есть в данном по условию четырехугольнике ABCD должно выполняться равенство:
∠A + ∠C = ∠B + ∠D.
Известно, что сумма всех углов четырехугольника равна 360°, тогда:
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
Подставим данные по условию значения в оба выражения:
2 * x + 7 * x = 6 * x + ∠D;
2 * x + 6 * x + 7 * x + ∠D = 360°.
Мы получили системы линейных уравнений с двумя переменными.
Приведем подобные слагаемые в первом уравнении и выразим ∠D:
2 * x + 7 * x - 6 * x = ∠D;
∠D = 3 * x.
Приведем подобные слагаемые во втором уравнении и выразим ∠D:
∠D = 360° - 2 * x - 6 * x - 7 * x;
∠D = 360° - 15 * x.
Приравняем оба выражения:
3 * x = 360° - 15 * x;
3 * x + 15 * x = 360°;
18 * x = 360°;
x = 360°/18;
x = 20°.
2. Найдем градусные меры углов:
∠A = 2 * x = 2 * 20° = 40°.
∠B = 6 * x = 6 * 20° = 120°.
∠C = 7 * x = 7 * 20° = 140°.
∠D = 3 * x = 3 * 20° = 60°.