В равностороннем треугольнике ABC: BD — медиана, АС=16. Найдите скалярное произведение векторoв АВ * BD​

х - высота треугольника

1,5х - основание

0,75х - половина основания

Тогда по теореме Пифагора:

х^2 + (0.75x)^2 = 50^2

1,5625x^2 = 2500

x^2 = 1600

x = 40 (см) - высота треугольника (х=-40 не удовлетвор.условиям задачи)

40*1,5=60 (см) - основание треугольника

60:2=30 (см) - средняя линия

S = 0,5ah = 0,5*60*40 = 1200 (кв см)

Найдём полупериметр

р = (50+50+60)/2 = 80 (см)

Воспользуемся формулами площади через радиусы вписанной и описанной окружности:

S = pr,   r = S/p = 1200/80 = 15 (см)

S = abc/(4R),   R = abc/(4S) = 50*50*60/(4*1200) = 31,25 (см)

АВСД - прямоугольник. О - пересечение диагоналей ОК срединный перпендикуляр к диагонали ВД. Тогда по условию: КС = СД.

То есть тр. ДКС - прям, равноб. Значит его острые углы - по 45 гр.

СДК = 45 гр = ДКС

Угол ДКС - внешний для равнобедр. тр-ка ВКД (КД = ВК - по св-ву срединного перпенд)Значит: 2*КДВ = 45 гр.

Или угол КДВ = 22,5 гр.

Тогда угол СДО в тр. СОД равен:

СДО = 45 + 22,5 = 67,5 гр и равен ОСД (т.к тр.СОД - равнобедр)

В итоге находим искомый угол СОД = 180 - (67,5 + 67,5) = 45 гр.

ответ: 45 гр(острый)  или 135 гр (тупой)