В столярной мастерской имеется квадратный деревянный брусок со стороной 5 см. Какой наибольший диаметр круглой заготовки, можно выточить из этого бруска?

Точка M равноудалена от сторон ромба и находится на расстоянии 2 см от плоскости ромба. Найдите расстояние от точки M до стороны ромба, если его диагонали равны 16 см и 12 см.

-------

Обозначим ромб АВСД, 

Расстояние от точки до прямой равно длине отрезка, проведённого перпендикулярно от точки к данной прямой. => 

отрезок МН перпендикулярен сторонам ромба. МН⊥АВ. 

Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра между точкой и плоскостью. ⇒ МО перпендикулярен каждой прямой, проходящей через О в плоскости ромба. 

  т.М равноудалена от сторон ромба, =>  

длина проекции ОН отрезка МН равна радиусу вписанной в этот ромб окружности, т.е. ОН равен половине высоты ромба. 

а) Диагонали ромба пересекаются под прямы углом и делят его на равные прямоугольные треугольники с катетами, равными их половине. 

По т.Пифагора АВ=√(ОН²+ОВ²)=√(36+64)=10 см

б) По ТТП МН⊥АВ => ОН⊥АВ. 

ОН можно найти из площади ∆ АОВ

Ѕ(АОВ)=ОА•ОВ:2=24

ОН=24•2:2=4,8 

По т.Пифагора МН=√(MO²+OH²)=√(4+23,04)=5,2 см

Ромб - тот же прямоугольник. Площадь его - высота, умноженная на сторону (4 см). Высота неизвестна. Будем искать. Один угол Х, другой - Х-90. Тогда Х+(Х-90)=180 (т.к. сумма удвух углов всегда=180). Решаем и получаем Х=135, а значит другой угол = 45 град. Если из угла Х проведём перпендикуляр на сторону противополжную этому углу, это и будет высота. Через формулу cos a=h/C?  где С=4 см, находим h=cos a * c. Где soc a  по таблице Брадиса =0,7071. Перемножаем и получаем h=2.8284 см. Тогда площадь будет S=2,8284 * 4= 11.3136 см.