В тетраэдре ABCD AD=a, BD=b, CD=c, медианы грани ABC пересекаются в точке O. Второй тетраэдр симметричен первому относительно середины отрезка DO. Найдите длину ломаной, по которой пересекаются поверхности этих тетраэдров.

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на боковых рёбрах AA1 и BB1 взяты середины P и Q.
а) Докажите, что существует прямая `l`, проходящая через точку C и пересекающая обе прямые QA1 и PD1;
б) Найдите отношение CM:MN, где M=l ∩(QA_1), N=l ∩(PD_1).

Углы при основании такого треугольника по 45 градусов.
Так как в равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является и медианой, то гипотенуза делится на 2 равные части.
Рассмотрим один из образовавшихся треугольников:
Угол между высотой и гипотенузой = 90 градусов
Один из углов равен 45 градусам
Следовательно третий угол равен 180-90-45=45 градусов
Поскольку 2 угла в этом треугольнике равны, этот треугольник равнобедренный, следовательно стороны лежащие против равных углов - равны. 
Таким образом высота в таком треугольнике равна половине гипотенузы.

Пусть вписанная в треугольник ABC окружность с центром О касается сторон AB, BC, AC в точках N, K, M соответственно, а касательная в точке F пересекает AB и BC в точках R и T соответственно. Тогда, очевидно, MFTC - равнобочная трапеция (MF||TC, ∠FMC=90°+∠FMO, ∠MFT=90°+∠MFO, причем ∠FMO=∠MFO, поэтому ∠MFT=∠FMC). Значит, TK=FT=MC=KC=AM=AN (из свойств отрезков касательной, равнобочности трапеции MFTC и равнобедренности треугольника ABC). Кроме того, NR=RF. Итак, AC=TC, AR=RT, т.е. треугольники ACR и TCR равны, откуда CR - биссектриса ∠ACB.  Т.к. биссектриса единственна, то все доказано.