В трапеции АВСD АВ - меньшее основание, О – точка пересечения диагоналей
а) Докажите, что АО : ОС =ВО : ОD;
б) Найдите АВ, если ОD =15 см, ОВ =9 см, СD = 25 см.

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания а = 8 см, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом α = 30°.
Найти площадь полной поверхности пирамиды и объём.

Высота основания h = a√3/2 = 8√3/2 = 4√3.
Проекция апофемы на основание равна h/3 = 4√3/3.
Апофема А равна:
 А = (h/3)/cos α = (4√3/3)/(√3/2) = 8/3.
Высота пирамиды Н = (h/3)*tg α = (4√3/3)*(1/√3) = 4/3.
Периметр основания Р = 3а = 3*8 = 24.
Площадь боковой поверхности Sбок равна:
 Sбок = (1/2)РА = (1/2)*24*(8/3) = 32 кв.ед.
Площадь основания So = a²√3/4 = 8²√3/4 = 16√3 кв.ед.
Полная площадь S = So + Sбок = 16√3 + 32 = 16(√3 + 2) кв.ед.
Объём V = (1/3)SoH = (1/3)*(16√3)*(4/3) = (64√3/9) куб.ед.

В основании прямоугольного параллелепипеда прямоугольник со сторонами 15 и 20. По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника (х)
x^2=15^2+20^2=225+400=625
x=25
Из условия задачи диагональ параллелепипеда образует с боковым ребром и диагональю основания равнобедренный прямоугольный треугольник, значит боковое ребро равно диагонали прямоугольника и равно 25
Объем параллелепипеда (V) равен произведению площади основания на боковое ребро
Площадь основания равна произведению сторон, и равна 15*20=300
V=300*25=7500