В треуголинке abc проведены медианы cn и ak , пересикающиеся в точке м. Пусть r- середина отрезка cm, а p- середина отрезка am. Известно, что площадь треугольника rbp равна 20. Чему равна площадь треугольника ABC?

ответ: а) прямые СН⊥ CF - доказано. б) LM =2√2 (ед. длины)

Объяснение:

   Треугольники АСN и МСВ - прямоугольные и равнобедренные по построению.

В ⊿ АСВ катет ВС=4,  катет АС=8

В ⊿ МСN катет МС=4,  катет CN=8

ВС=МС, АС=NC;⇒⊿ АСВ =⊿ МСN по 1-му признаку, их сходные острые углы равны.  

а) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе,  делит его на два подобных друг другу и исходному.

   ⊿ FCM≈⊿ АСВ≈⊿ АСН ⇒ их сходные углы равны.  

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°⇒

Угол FCM+угол АСН=90°, что и требовалось доказать.

б) В ⊿ АLM сторона АМ=АС-МС=8-4=4; углы при АМ равны по 45°, т.к.  ∠АМL=∠CMB - вертикальные, ∠МАL =45° как угол равнобедренного  ⊿АСN⇒

⊿ АLM - равнобедренный, ∠АLM=90°.⇒

Катет LM=АМ•sin45°=4•√2/2=2√2 (ед. длины)

Если диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды-равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен "а", то основание (гипотенуза) этого треугольника - диагональ квадрата основания пирамиды равно а√2.
Высота пирамиды - это высота равнобедренного 
прямоугольного треугольника, она равна половине его гипотенузы и равна H = а√2/2 = а/√2.

Так как гипотенуза основания пирамиды - диагональ квадрата, то сторона его равна а√2/√2 = а.
Это означает, что все рёбра пирамиды равны а, боковые грани - равносторонние треугольники.

Отсюда  площадь основания So = a², периметр основания
Р = 4а.
Находим апофему боковой грани: А = а*cos30 = a√3/2.

Площадь боковой поверхности пирамиды:
Sбок = (1/2)А*Р = (1/2)*(а√3/2)*4а = а²√3.

Объём пирамиды V=(1/3)So*H = (1/3)*a²*( а/√2) =
= a³/3√2.