В треугольнике ABC его медианы AA1, BB1 и СС1 пересекаются в точке О. Середины отрезков OA, OB и OC обозначены соответственно A2, B2 и C2. Выразите периметр шестиугольника A2C1B2A1C2B1 через медианы ma = AA1, mb = BB1, mc = CC1.

Показать ответ

Ответ:

lizabobovic

15.10.2020 16:03

В треугольнике ABC его медианы AA1, BB1 и СС1 пересекаются в точке О. Середины отрезков OA, OB и OC обозначены соответственно A2, B2 и C2. Выразите периметр шестиугольника A2C1B2A1C2B1 через медианы ma = AA1, mb = BB1, mc = CC1.

Объяснение:

Медиана точкой пересечения делится на отрезки в отношении 2:1 ,считая от вершины ( см рисунок 1):

ОА= $\frac{2}{3}$ mа , ОВ= $\frac{2}{3}$ mb , ОС= $\frac{2}{3}$ mc .

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон .Это отрезки :

А₂С₁ и А₁С₂ соответственно в ΔОАВ и ΔОАС ;

С₂В₁ и С₁В₂ соответственно в ΔОСА и ΔОАВ ;

А₂В₁ и А₁В₂ соответственно в ΔОАС и ΔОВС .

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

А₂С₁= $\frac{1}{2}$ ОВ= $\frac{1}{2}$ * $\frac{2}{3}$ mb = $\frac{1}{3}$ mb , А₁С₂ = $\frac{1}{2}$ ОВ= $\frac{1}{2}$ * $\frac{2}{3}$ mb = $\frac{1}{3}$ mb ;

С₂В₁= $\frac{1}{2}$ ОА= $\frac{1}{2}$ * $\frac{2}{3}$ mа = $\frac{1}{3}$ mа , С₁В₂ = $\frac{1}{2}$ ОА= $\frac{1}{2}$ * $\frac{2}{3}$ mа = $\frac{1}{3}$ mа ;

А₂В₁ = $\frac{1}{2}$ ОС= $\frac{1}{2}$ * $\frac{2}{3}$ mс = $\frac{1}{3}$ mс , А₁В₂ = $\frac{1}{2}$ ОС= $\frac{1}{2}$ * $\frac{2}{3}$ mс = $\frac{1}{3}$ mс .

Р(шестиугольника)=2* $\frac{1}{3}$ mb+2* $\frac{1}{3}$ mа+2* $\frac{1}{3}$ mс= $\frac{2}{3}$ ( mа+ mb+mс)