В треугольнике ABC отмечены точки D и M на сторонах cm AC и соотаетствено. Площадь треугольника ABC равна 50. Найдите площадь трекгольника DZM, если DC=3, DA=2 и DM параллельна AB

Рисунок: рисуем тетраэдр ABCD; дано:АВ=с,ВС=а, AD=m

1) Рассмотрим треугольник DAB-прямоугольный, угол А=90 градусов т.к. AD перпендикулярен ACB; BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}; BD= квадратный корень из (m^{2}+c^{2});

2) Рассмотрим треугольник ABС- прямоугольный по условию АС^{2}+СВ^{2}=АВ^{2}, АС^{2}=АВ^{2}-СВ^{2}; АС= квадратный корень из(c^{2}-a^{2});

Рассмотрим треугольник DAС-прямоугольный, угол А=90 градусов т.к. AD перпендикулярен ACB; DС^{2}=АС^{2}+AD^{2}; DС= квадратный корень из (c^{2}-a^{2}+ m^{2}).

ответ:  BD= квадратный корень из (m^{2}+c^{2}) ; DС= квадратный корень из (c^{2}-a^{2}+ m^{2})

Если теорему косинусов ещё не проходили. 
Пусть параллелограмм ABCD. Угол ABC = 120 гр. BAD = 60 гр. АВ - меньшая из сторон. 
Из вершины В опустим высоту на сторону AD в точку Е 
Угол АВЕ равен 30 гр. 
Отрезок АЕ в единицах пропорциональности равен 2,5 
Высота ВЕ 5 sqrt(3) / 2 (sqrt - квадратный корень) 
Отрезок ЕD находим вычитая АЕ из AD. Он равен 5,5 
Теперь по теореме Пифагора вычисляем в единицах пропорциональности меньшую диагональ Получается sqrt(5.5^2 + (2.5*SQRT(3))^2) = 7 
Единица пропорциональности равна 2 см. Значит стороны равны 10 см и 16 см, высота примерно 8,66 cм, площадь - 138,56 кв.см 
Чтобы найти большую диагональ из точки С опустим высоту на продолжение стороны AD в точку F. Треугольники DСF и АВЕ равны, значит равны и DF и AE. Таким образом в треугольнике ACF известны оба катета СF - высота, равна 5 sqrt(3) , AF = AD + DF = 16+5 = 21 
По теореме Пифагора находим, что AC примерно равно 22,72 см