В треугольнике ABC отрезок A1B1 параллельна стороне AB при этом длина отрезка AB в 3 раза больше длины отрезка А1В1 найдите отношение длин отрезков B1B и CB1
Однажды красивая и стройная биссектриса решила пройтись по белоснежным полям и посмотреть мир. Она была легка и воздушна. Ее шаги никто не замечал. Лишь нерадивый ученик ,который решал задачи по геометрии ,увидел ее и вздрогнул. Он испугался, что сейчас она заметит задания,где он не провел биссектрису углов и не смог начертить прямой угол. Он схватил линейку и карандаш и ей , что сейчас все сделает. Он полистал учебник, прищурил глаз и улыбнулся биссектрисе. Мальчик понял, как нужно было ее проводить,да и сама биссектриса ему она присела на линейку и проехалась по всем углам ему построить прямой угол , развернутый,смежные углы и вертикальные. Она сидела уже не на линейке, а пересела на ручку, пока мальчик чертил углы.Она лишь подсказывала ему как нужно было верно начертить все углы. А потом, она просто улетела и быстро исчезла из вида,как будто ее и не было , но на листах в тетраде она осталась, все такая же красивая, ровная, тонкая и стройная.
Внешняя точка - C, центр большой окружности - O пусть K - точка касания маленькой окружности и описанной в условии фигуры; ok ∩ mn = L проведем через неё касательную к обеим окружностям, пусть точки пересечения ей сторон угла MCN A и B. OK ⊥ AB по св-у касательной OK ⊥ MN, тк ol - биссектриса равнобедренного треугольника mon (равенство углов следует из равенства треугольников cmo и cno) таким образом ab || mn значит Δabc ~ Δamn по двум углам и Δabc - равносторонний (∠cmn = = ∠mnc = ∠cab = ∠cba = 60 (угол между касательной и хордой равен половине дуги заключенной между ними)) большая окружность - вневписанная для Δabc => cn = cm = полупериметру пусть сторона abc = a тогда cm = 1.5a ca / cm = 2 / 3 mn по теореме косинусов из Δmon = 18√3 ab = 2 mn / 3 = 12√3 = a осталось найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник abc со стороной 12√3 S = p * r = a²√3 / 4 r = a^2 √3 / (4 * 1.5a) = a * √3 / 6 = 12 * 3 / 6 = 6 Длина окружности с радиусом 6 = 2π * 6 = 12π ответ: 12π
пусть K - точка касания маленькой окружности и описанной в условии фигуры;
ok ∩ mn = L
проведем через неё касательную к обеим окружностям, пусть точки пересечения ей сторон угла MCN A и B.
OK ⊥ AB по св-у касательной
OK ⊥ MN, тк ol - биссектриса равнобедренного треугольника mon (равенство углов следует из равенства треугольников cmo и cno)
таким образом ab || mn
значит Δabc ~ Δamn по двум углам и Δabc - равносторонний (∠cmn = = ∠mnc = ∠cab = ∠cba = 60 (угол между касательной и хордой равен половине дуги заключенной между ними))
большая окружность - вневписанная для Δabc
=> cn = cm = полупериметру
пусть сторона abc = a
тогда cm = 1.5a
ca / cm = 2 / 3
mn по теореме косинусов из Δmon = 18√3
ab = 2 mn / 3 = 12√3 = a
осталось найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник abc со стороной 12√3
S = p * r = a²√3 / 4
r = a^2 √3 / (4 * 1.5a) = a * √3 / 6 = 12 * 3 / 6 = 6
Длина окружности с радиусом 6 = 2π * 6 = 12π
ответ: 12π