В треугольнике ABC серединные перпендикуляры пересекаются в точке O. Известно, что ∠AOC = 120°, AC = 30. Найдите OB. ответ дайте в сантиметрах.
с решением

О - точка пересечения диагоналей ВD и АС. ВО/OD=2/5. h=BC=4
1) Тр-ки ВОС и AOD подобны по трем соответственно равным углам (1 пара вертикальных и 2 пары накрест лежащих). Из подобия следует пропорциональность сходственных сторон: BC/AD=BO/OD; AD=BC*OD/BO=4*5/2=10.
2) Проведем две высоты ВN и СМ. Высоты разделят нижнее основание на отрезки;
NM=BC=4; AN=MD=(AD-NM)/2=3.
3) Тр-к ABN с катетами BN=4 и AN=3 - египетский. Значит, гипотенуза АВ=5. (А можно найти АВ по теореме Пифагора),
4) Р=2*АВ+BC+AD=10+4+10=24 см.

На основе задания делаем вывод: треугольник КОМ - прямоугольный с соотношением катетов 2:1.
Обозначим КО = 2х. а МО = х.
Тогда по Пифагору 40² = х²+(2х)².
5х² = 1600,
х² = 1600/5 = 320,
х = √320 = 8√5.

Точка О делит медианы в отношении 2:1 от вершины.
Находим МО = 8√5, КО = 2*8√5 = 16√5.
Отрезок ОК1 по свойству медианы равен 1/2 КО и равен 8√5.
То есть, треугольник МОК1 - прямоугольный равнобедренный.
МК1 = К1N = x√2 = 8√5*√2 = 8√10, а сторона MN = 2*8√10 = 16√10.

Последнюю неизвестную сторону находим по теореме синусов.
Находим угол MКO.
tg<MKO = x/2x = 1/2.
<MKO = arc tg(1/2) =  0,463648 радиан = 26,56505°.
 Находим угол ОКМ1. OM1 = (1/2)MO = 8√5/2 = 4√5.
tg<ОКМ1 = ОМ1/OK = 4√5/16√5 = 1/4.
<ОКМ1 = arc tg(1/4) =  0,244979 радиан = 14,03624°.
Угол К равен сумме МКО и ОКМ1:
 <К = 26,56505° + 14.03624° =  40,60129°.
Находим угол N.
sin N/40 = sin K/(16√10),
sin N = 40*sin K/16√10 = 40* 0,650791/16√10 =  0,514496.
Угол N = arc sin 0,514496 =  0,54042 радиан = 30,96376°.
Угол В = 180°-<K-<N = 180°- 40,60129° - 30,96376° =  108,4349°.
KN = sin M*40/sin N =  0,948683*40/0,514496 =  73,75636.
Периметр треугольника равен  164,3528026.