В общем случае можно найти так (смотрите рисунок во вложении). Угол А является центральным углом окружности, описанной вокруг правильного n-угольника. Этот угол стягивает хорда, являющаяся одной из сторон n-угольника. Следовательно, угол А = 360/n. Изображенные треугольники являются равнобедренными и равными. Значит угол В будет равен сумме углов при основании одного из этих равнобедренных треугольников. И будет равен <В = 180 – 360/n. Таким образом, в правильном пятнадцатиугольнике искомый угол <B = 180 -360/15 = 180 – 24 = 156 градусов.
1. Рассмотрим треуг-ик apf. Он равнобедренный по условию, значит, углы при его основании af равны (<paf=<pfa). Пусть этот неизвестный угол будет х, тогда <bac=x+x=2x, <paf=<pfa=x, <apf=180-(<paf+<pfa)=180-2x. Тогда <bpf=180-<apf=180-(180-2x)=2x. То есть мы видим, что <bac=<bpf=2х. Это соответственные углы при пересечении двух прямых ac и pf секущей ab. Значит, прямые ас и pf параллельны (признак параллельности двух прямых). 2. Рассмотрим треугольники abc и pbf. Они подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого: - угол b - общий; - <bac=<bpf как показано выше. Для подобных треугольников можно записать отношение сходственных сторон: pf : ac = bf : bc = 2 : (2+1) = 2 : 3, отсюда pf = ac*2:3=6*2:3=4 см
<bac=x+x=2x,
<paf=<pfa=x,
<apf=180-(<paf+<pfa)=180-2x.
Тогда <bpf=180-<apf=180-(180-2x)=2x.
То есть мы видим, что <bac=<bpf=2х. Это соответственные углы при пересечении двух прямых ac и pf секущей ab. Значит, прямые ас и pf параллельны (признак параллельности двух прямых).
2. Рассмотрим треугольники abc и pbf. Они подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого:
- угол b - общий;
- <bac=<bpf как показано выше.
Для подобных треугольников можно записать отношение сходственных сторон:
pf : ac = bf : bc = 2 : (2+1) = 2 : 3, отсюда
pf = ac*2:3=6*2:3=4 см