В треугольнике ABC угол при вершине B прямой. Известно, что отношение длин медиан, проведенных из вершин A и C, равно √ 13 4 . Найдите отношение длин катетов.
1) KMNB параллелограмм - верно, так как BN║KM по условию и MN║KB как основания трапеции.
2) KMNB ромб - неверно, так как MN ≠ KM по условию.
3) MNPB ромб - верно. MB║NP по условию, MN║BP как основания трапеции, значит MNPB - параллелограмм. Смежные стороны у него равны (MN = NP по условию), значит MNPB - ромб.
4) ∠KBM = ∠MBN - неверно, так как в параллелограмме, который не является ромбом, диагонали не лежат на биссектрисах углов.
5) ∠MBN = ∠NBP - верно так как в ромбе диагонали лежат на биссектрисах его углов.
МР=АС:2, MN=BC:2, PN=AB:2, МР, PN и MN- средние линии ∆ АВС. ⇒ ∆ ВМР и ∆ АВС подобны ( легко докажете сами) Коэффициент подобия k=1/2 Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. S1:S=k²=1/4 Тогда S∆ ABC=48*4=192 Пусть коэффициент отношения сторон ∆АВС будет а. Тогда АВ=ВС=5а, АС=6а Опустим из В высоту на АС. В равнобедренном треугольнике высота еще и медиана и биссектриса, ⇒АN=CN=3a. Найдем по т.Пифагора высоту: BN=√(AB²-AN²)=√16a²=4a По формуле площади треугольника S ∆ ABC=4a*6a:2=12a² 12a²=192 a²=16 a=√16=4 P=5а+5а+6а=16а Р=16*4=64 ------- Можно площадь ∆ АВС найти несколько иначе: МР, PN и MN- средние линии ∆ АВС. Они делят ∆ АВС на 4 равных треугольника. : S ∆ ABC=48*4=192
2) KMNB ромб - неверно, так как MN ≠ KM по условию.
3) MNPB ромб - верно. MB║NP по условию, MN║BP как основания трапеции, значит MNPB - параллелограмм.
Смежные стороны у него равны (MN = NP по условию), значит MNPB - ромб.
4) ∠KBM = ∠MBN - неверно, так как в параллелограмме, который не является ромбом, диагонали не лежат на биссектрисах углов.
5) ∠MBN = ∠NBP - верно так как в ромбе диагонали лежат на биссектрисах его углов.
∆ ВМР и ∆ АВС подобны ( легко докажете сами)
Коэффициент подобия k=1/2
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
S1:S=k²=1/4
Тогда S∆ ABC=48*4=192
Пусть коэффициент отношения сторон ∆АВС будет а.
Тогда АВ=ВС=5а, АС=6а
Опустим из В высоту на АС. В равнобедренном треугольнике высота еще и медиана и биссектриса, ⇒АN=CN=3a.
Найдем по т.Пифагора высоту:
BN=√(AB²-AN²)=√16a²=4a
По формуле площади треугольника
S ∆ ABC=4a*6a:2=12a²
12a²=192
a²=16
a=√16=4
P=5а+5а+6а=16а
Р=16*4=64
-------
Можно площадь ∆ АВС найти несколько иначе:
МР, PN и MN- средние линии ∆ АВС. Они делят ∆ АВС на 4 равных треугольника. : S ∆ ABC=48*4=192