В треугольнике АВС точка D делит сторону АС на отрезки

AD = 4 и DC = 5; BAC = 30°; ABD = ACB. Найдите площадь

треугольника АВD.

Показать ответ

Ответ:

mikimouse9

15.02.2021 04:46

>>> идёт оформление рисунка <<< ожидайте ...

Задача решается через векторы.
Построим вектор $\overline{AB} ( (-1)-(-9) , 4-10 ) = \overline{AB} ( 8 , -6 )$ ;

Середина D отрезка AB может быть найдена откладыванием половины вектора $\overline{AB}$ от точки A

$\frac{1}{2} \overline{AB} = \overline{ ( 4 , -3 ) }$ ;

Итак D( -9+4, 10-3 ) = D( -5, 7 ) ;

От точки D нужно отложить вектор высоты $\overline{h}$ в обе возможные стороны

Вектор высоты $\overline{h}$ перпендикулярен вектору основания $\overline{AB}$ , а значит его проекции накрест-пропорциональны с противоположным знаком:

(I) $\frac{x_h}{y_h} = -\frac{ y_{AB} }{ x_{AB} }$ , что непосредственно следует из скалярного произведения, поскольку для перпендикулярных векторов должно выполняться: $x_h * x_{AB} + y_h * x_{AB} = 0$ (II) ;

Таким образом вектор $\overline{h}$ пропорционален вектору $\overline{h_o} ( 3 , 4 )$ , поскольку для вектора $\overline{h_o}$ выполняется и равенство (I) и равенство (II) осталось лишь найти масштаб вектора $\overline{h}$ ;

Вектор $\overline{h_o}$ имеет длину $h_o = \sqrt{ x_{ho}^2 + y_{ho}^2 } = \sqrt{ 3^2 + 4^2 } = \sqrt{ 25 } = 5$ ;

Аналогично, AB = 10

При этом, поскольу треугольник равносторонний, то значит его высота составляет $h = \frac{ \sqrt{3} }{2}AB$ , т.к $\cos{ 60^o } = \frac{ \sqrt{3} }{2}$ ;

Значит $h = 5 \sqrt{3}$ , а стало быть $h = \sqrt{3} h_o$ ;

В итоге $\overline{h} ( 3\sqrt{3} , 4\sqrt{3} )$ .

Откладываем этот вектор в разные стороны (+\-) от точки D( -5, 7 ) и получаем:

ОТВЕТ:

$C_1 ( 3\sqrt{3} - 5 , 7 + 4\sqrt{3} )$ /// примечание: $3\sqrt{3} 5$ ;

$C_2 ( - 3\sqrt{3} -5 , 7 - 4\sqrt{3} )$ /// примечание: $4\sqrt{3} < 7$ .

Вычислить координаты вершины с равностороннего треугольника авс, если даны координаты а(-9,10), в(-1

Вычислить координаты вершины с равностороннего треугольника авс, если даны координаты а(-9,10), в(-1

0,0(0 оценок)

Ответ:

вита1404

27.08.2020 07:05

1) Провели высоты ВК и СМ трапеции АВСD.

Получили ВСМК - прямоугольник. ВС=КМ=2√3 (по св-ву прямоуг-ка).

2) В ΔАКВ (прямоуг-ый) катет ВК лежит против угла в 30°, он равен половине гипотенузы АВ, ⇒ АВ=1*2=2.

3) АК - неизвестный катет прямоугольного ΔАКВ, по т.Пифагора: АК²=АВ²-ВК²; АК²=4-1=3; АК=√3.

4) Прямоугольные ΔАКВ и ΔDМС равны по катету и гипотенузе (ВК=СМ, т.к. ВСМК - прямоугольник; АВ=СD, как "бока" равнобокой трапеции), ⇒ АК=МD, как соответственные элементы в равных треугольниках.

5) Sтрап.=((ВС+АD):2)*ВК

Sтрап.=((2√3+(√3+2√3+√3)):2)*1=(6√3):2=3√3см²

ответ: SАВСD=3√3см²