В треугольнике АВС углы ВАС и ВСА равны, их биссектрисы АА1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный. (нужно с пояснением)

Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию равнобедренного треугольника, совпадают между собой. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны." Решение: Итак, треугольники АМD и DNC - равны между собой, так как AD=DC (BD- медиана), NC=МA (так как МВ=BN - дано, а АВ=ВС - треугольник АВС равнобедренный) и улы ВАС и ВСА между равными сторонами равны. Из равенства тр-ков вытекает равенство сторон МD и ND. Что и требовалось доказать

На круге размещены токчи А, В и С так, что АС - диаметр круга, а хорду ВС видно с центра окружности круга под углом в 60°. Найдите радиус круга, если АВ = см.

- - -

Дано :

Круг.

Точка О - центр данного круга.

Точка А ∈кругу.

Точка В ∈кругу.

Точка С ∈кругу.

АС - диаметр круга.

∠ВОС = 60°.

АВ = см.

Найти :

ОС = ? (или ОА, это неважно, так как они равны).

Решение :

∠АВС - вписанный (по определению), так ещё и опирается на диаметр АС, следовательно, ∠АВС = 90° (так как диаметр "стягивает" дугу в 180°).

Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

ОС = ОА (так как радиусы одной окружности). Тогда отрезок ОВ - медиана (по определению), причём проведённая к гипотенузе (АС - гипотенуза, так как лежит против угла в 90°).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Следовательно -

ОВ = ВС = ОС.

Тогда ΔОВС - равносторонний (по определению).

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Следовательно -

∠ВОС = ∠ОВС = ∠С = 60°.

Тогда -

BC = 1 см.

ответ :

1 см.