В треугольнике КLD, KL=12, KD=8, угол K=60°. Найдите третью сторону по теореме косинусов

Проведём в трапеции ABCD высоты BE и CF из тупых углов. Четырехугольник BCFE является прямоугольником (противоположные стороны попарно параллельны, тогда это параллелограмм, то так как есть прямой угол, это прямоугольник), поэтому EF=BC. Известно, что AD-BC=6, тогда AD-EF=6, откуда AE+DF=6. Так как трапеция равнобокая, AE=DF=6/2=3. Рассмотрим треугольник ABE. Он прямоугольный, так как BE - высота трапеции, кроме того, его гипотенуза AB в 2 раза больше катета AE. Значит, угол лежащий против катета AE - угол ABE -  равен 30 градусам. Тогда второй острый угол этого треугольника - BAD - равен 90-30=60 градусам. В равнобокой трапеции углы при большем основании равны, тогда угол CDA также равен 60 градусам. Углы при меньшем основании также равны, каждый из них равен 90+30=120 градусам (ABC=ABE+EBC=30+90=120).

ответ: углы равны 60, 60, 120, 120 градусам.

Выразим площадь параллелограмма S, построив его высоту СН:
S ABCE=AE*CH.
Выразим площадь прямоугольника S1:
S1 А1В1С1Е1=А1Е1*А1В1
Но А1Е1=АЕ, поэтому можно записать так:
S1 А1В1С1Е1=А1Е1*А1В1=АЕ*А1В1
Зная, что S1 больше S в 2 раза, можно записать:
S1=2S,  или
АЕ*А1В1=2*AE*CH, отсюда
А1В1=2СН, СН=1/2А1В1
Помня, что А1В1=СЕ, можно записать для СН так:
СН=1/2А1В1=1/2СЕ
Т.е. в прямоугольном треуг-ке СНЕ на рис.1 катет СН равен половине гипотенузы СЕ. Используем одно из свойств прямоугольных треугольников: если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Значит
<CEH=30°. Тогда <AEC=180-30=150°