В треугольнике KLP на сторонах KL и KP отмечены точки O и S соответственно, причём KO = SP = 4см. Найти длину отрезка OS, если KL = 24см, LP = 15 см, KP = 12см. С подробным решением

По формуле медианы
М=1/2*√2a²+2b²-c²
Подставим все медианы и обозначим стороны за x (медиана, опущенная на нее - 13)   y(М=√601)   z(М=2√61)  Получим систему из трех уравнений
13=1/2√2y²+2z²-x²
√601=1/2*√2z²+2x²-y²
2√61=1/2√2z²+2x²-z²
Возведем в квадрат обе части каждого уравнеия, т.е. избавимся от корней
169=1/4(2y²+2z²-x²)
601=1/4(2z²+2x²-y²)
244=1/4*(2y²+2x²-z²)
Приведем дроби к общему знаменателю - 4 и запишем все уравнения уже без знаменателей
2y²+2z²-x²²=676
2z²+2x²-y²=2404
2y²+2x²-z²=976
Выразим из первого x²       x²=2y²+2z²-676 (1)  и подставим во второе и третье уравнение
2z²+2(2y²+2z²-676)-y²=2404
2y²+2(2y²+2z²-676)-z²=976
После преобразования подобных слагаемых получим
2z²+y²=1252      
2y²+z²=776
Домножим первое уравнение на (-2) и сложим оба уравнения
-4z²-2y²=-2504
z²+2y²=776   (2)

-3z²=-1728
z²=576
z=24
Подставим z² в (2)
275+2y²=776
2y²=200
y²=100
y=10

Подставим y²  и z²  в (1)
x²=2*100+2*576-676
x²=676
x=26
Т.е стороны треугольника 24, 10,  26
самое простое проверить теорему Пифагора
10²+24²=36²
100+576=676
Все ОК, т.е треугольник прямоугольный

Одна диагональ = х, другая = х+14. Зная, что площадь ромба = половине произведения его диагоналей, напишем: 240 = 1/2·х·(х + 14)
480 = х^2 +14x
x^2 +14x - 480 =0
 x = 16   x = -30 (не подходит) Одна диагональ = 16, другая = 30 ( х+14)
Две диагонали делят ромб на 4 равных прямоугольных Δ, в которых катеты 8 и 15. Сторону ромба ищем по т. Пифагора. a^2 = 64 + 225 
                                                                    a^2 = 289
                                                                    a = 17 (сторона ромба)
Теперь ищем периметр. Р = 17·4 = 68(см)