В треугольнике со сторонами 22 и 6 проведены высоты к этим сторонам.Высота, проведённая к первой стороне равна 3. Чему равна высота, проведённая ко 2-й стороне?
1) ΔАВС равнобедренный ⇒ высота АН⊥ВС явл. медианой ⇒ ВН=СН=3 По теореме о трёх перпендикулярах ДН⊥ВС ⇒ расстояние от точки Д до ВС = ДН. ΔАВН: АН=√(25-9)=4 ΔАДН: ДН=√(АД²+АН²)=√(100+16)=√116=2√29
2) АВСД - квадрат, ВН⊥ пл. АВСД АВ=4 ⇒ АС=ВД=4√2 (по теор. Пифагора) АС⊥ВД, точка О - точка пересечения диагоналей ⇒ ВО=2√2 по теореме о трёх перпенд. НО⊥АС ⇒ искомое расстояние от т. Н до т. О (до АС)= НО. ΔНВО: НО=√(ВН²+ВО²)=√(64+8)=√72=6√2 Середина АВ - точка Е, АЕ=ВЕ=2. Расстояние от т. Н до т. Е =√(ВЕ²+ВН²)=√(4+64)=√68=2√17
Обозначим ВС=х, АД=2х, проведем высоту СК,обозначим Н, СК перпендикулярна АД. S=(х+2х)·Н/2 - площадь трапеции, по условию она равна 30. Значит х·Н=20. Это очень нужное в дальнейшем значение.
S (Δ APД) = 1/2·АД·H/2 (точка P - середина АВ) S( Δ APД) = 1/2 х·Н=10 ( я обращала внимание, что х·Н=20) Проведем высоту RМ паралелльно СК. Из подобия треугольников СКД и RМД RM=2H/3 S( Δ ARД) = 1/2·2х·2Н/3= 2х·Н/3= 40/3 Площадь треугольника APД состоит из площадей треугольников APQ и AQД. В сумме дает 10 Площадь треугольника ARД состоит из площадей треугольников QPД и AQД, сумме 40/3. Запишем это в виде равенств и вычтем из второй строки первую Получим S ( ΔQPД) = S (Δ APQ) + 10/3 Обозначим S ( Δ APД) = s Выразим площади всех треугольников через s S ( Δ ABQ) = s ( у треугольников равны основания АР=РВ и высота общая) S ( Δ AQД) = 10 - s S (Δ QRД) = s + 10/3 ( см. выше) S( Δ BCR) = 1/2 ·ВС· Н/3 ( высота из точки R на сторону ВС, в силу условия ДR:RC=2:1) = 1/6· х·Н= 20/6=10/3 S (Δ ABR) = S ( всей трапеции) - S( ΔARД) - S (Δ BCR)= 30 - 40/3 - 10/3=40/3 Получили, что площади треугольков ABR и ARД равны. Поскольку основание AR - общее, значит и высоты, проведенные из точек В и Д на сторону AR равны. Значит и площади треугольников ABQ и AQД тоже равны. У них основание общее AQ. Высоты равны. Поэтому s+s=10-s s=10|3 ответ Площадь треугольника APQ равна 10/3
высота АН⊥ВС явл. медианой ⇒ ВН=СН=3
По теореме о трёх перпендикулярах ДН⊥ВС ⇒
расстояние от точки Д до ВС = ДН.
ΔАВН: АН=√(25-9)=4
ΔАДН: ДН=√(АД²+АН²)=√(100+16)=√116=2√29
2) АВСД - квадрат, ВН⊥ пл. АВСД
АВ=4 ⇒ АС=ВД=4√2 (по теор. Пифагора)
АС⊥ВД, точка О - точка пересечения диагоналей ⇒ ВО=2√2
по теореме о трёх перпенд. НО⊥АС ⇒
искомое расстояние от т. Н до т. О (до АС)= НО.
ΔНВО: НО=√(ВН²+ВО²)=√(64+8)=√72=6√2
Середина АВ - точка Е, АЕ=ВЕ=2.
Расстояние от т. Н до т. Е =√(ВЕ²+ВН²)=√(4+64)=√68=2√17
S=(х+2х)·Н/2 - площадь трапеции, по условию она равна 30.
Значит х·Н=20. Это очень нужное в дальнейшем значение.
S (Δ APД) = 1/2·АД·H/2 (точка P - середина АВ)
S( Δ APД) = 1/2 х·Н=10 ( я обращала внимание, что х·Н=20)
Проведем высоту RМ паралелльно СК. Из подобия треугольников СКД и RМД
RM=2H/3
S( Δ ARД) = 1/2·2х·2Н/3= 2х·Н/3= 40/3
Площадь треугольника APД состоит из площадей треугольников APQ и AQД. В сумме дает 10
Площадь треугольника ARД состоит из площадей треугольников QPД и AQД, сумме 40/3.
Запишем это в виде равенств и вычтем из второй строки первую
Получим S ( ΔQPД) = S (Δ APQ) + 10/3
Обозначим S ( Δ APД) = s
Выразим площади всех треугольников через s
S ( Δ ABQ) = s ( у треугольников равны основания АР=РВ и высота общая)
S ( Δ AQД) = 10 - s
S (Δ QRД) = s + 10/3 ( см. выше)
S( Δ BCR) = 1/2 ·ВС· Н/3 ( высота из точки R на сторону ВС, в силу условия ДR:RC=2:1) = 1/6· х·Н= 20/6=10/3
S (Δ ABR) = S ( всей трапеции) - S( ΔARД) - S (Δ BCR)= 30 - 40/3 - 10/3=40/3
Получили, что площади треугольков ABR и ARД равны. Поскольку основание AR - общее, значит и высоты, проведенные из точек В и Д на сторону AR равны.
Значит и площади треугольников ABQ и AQД тоже равны. У них основание общее AQ. Высоты равны.
Поэтому s+s=10-s
s=10|3
ответ Площадь треугольника APQ равна 10/3