В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB = 7, SC = 5. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
Расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра. опущенного из данной точки на данную плоскость. Наклонная (AB), ее проекция (BC) на плоскость и перпендикуляр (AC), проведенный из той же точки, что и наклонная, к той же плоскости, образуют прямоугольный треугольник ABC.
В прямоугольном треугольнике ABC: ∠ACB = 90° ∠ABC = 60° AC = 10 cм - катет. противолежащий углу 60° BC - катет, прилежащий углу 60°
Отношение противолежащего катета к прилежащему катету является тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике.
Посмотрите решение, по возможности перепроверьте вычисления: 1. По т. Пифагора можно найти половину стороны основания, так как боковое ребро, апофема и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник: √(5²-3²)=4. Тогда сторона основания равна 8 см. 2. Площадь боковой поверхности состоит из утроенной площади боковой грани (равнобедренный треугольник с основанием 8 см, высотой 3 см.), то есть Пл_боковой_поверхности=3*0,5*8*3=36 см². 3.Высота пирамиды соединяет вершину вне основания и центр описанной окружности, которая описана вокруг треугольника в основании. Зная, что сторона правильного Δ-ка равна 8 см., можно найти радиус описанной окружности: Радиус_описанной окружности=2/3 *8*sin60°=8/√3. Тогда высота пирамиды находится из прямоугольного Δ-ка, образованного высотой пирамиды, радиусом описанной окружности основания и боковым ребром (последние равны 8/√3 и 5 см.): √(25-(64/3))=√11/3 4. V=1/3 *SΔ*h; V=1/3 *1/2 *8²*sin60°*√11/3
Наклонная (AB), ее проекция (BC) на плоскость и перпендикуляр (AC), проведенный из той же точки, что и наклонная, к той же плоскости, образуют прямоугольный треугольник ABC.
В прямоугольном треугольнике ABC:
∠ACB = 90°
∠ABC = 60°
AC = 10 cм - катет. противолежащий углу 60°
BC - катет, прилежащий углу 60°
Отношение противолежащего катета к прилежащему катету является тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике.
tg(∠ABC) = AC / BC
tg(60°) = √3
√3 = 10 / BC
BC = 10 / √3
BC = 10√3 / 3 (см)
1. По т. Пифагора можно найти половину стороны основания, так как боковое ребро, апофема и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник: √(5²-3²)=4.
Тогда сторона основания равна 8 см.
2. Площадь боковой поверхности состоит из утроенной площади боковой грани (равнобедренный треугольник с основанием 8 см, высотой 3 см.), то есть Пл_боковой_поверхности=3*0,5*8*3=36 см².
3.Высота пирамиды соединяет вершину вне основания и центр описанной окружности, которая описана вокруг треугольника в основании. Зная, что сторона правильного Δ-ка равна 8 см., можно найти радиус описанной окружности:
Радиус_описанной окружности=2/3 *8*sin60°=8/√3.
Тогда высота пирамиды находится из прямоугольного Δ-ка, образованного высотой пирамиды, радиусом описанной окружности основания и боковым ребром (последние равны 8/√3 и 5 см.): √(25-(64/3))=√11/3
4. V=1/3 *SΔ*h; V=1/3 *1/2 *8²*sin60°*√11/3