В выпуклом четырехугольнике АВСD известно , что угол АDC=60° И АВ=АD=DC.
Найдите угол АВD, если ВСD=55°
​

А -равные стороны, б-основание треугольника АВС, проведем высоту ВН к основанию, по свойствам равнобедренного треугольника она будет и высотой и медианой
Найдем радиус вписанной окружности r
 
r=b/2√(2a-b)/2a+b)=12/2√(20-12)/(20+12)=6√8/32=6√1/4=3 см 
значит ОМ ,ОК, ОН так же равны 3 см 
найдем высоту ВН
по теореме Пифагора ВН=√100-36=√64=8 см
значит ВО=8-3=5 см

найдем МВ (по свойствам вписанной окружности АН=АМ=6 см
МВ=10-6=4 см
теперь известны все стороны треугольника ОМВ
ОМ=3 см
МВ=4 см
ВО=5 см
по теореме Герона S=√p(p-a)(p-b)(p-c) где р-полупериметр
р=(3+4+5)/2=6 см
S=√6(6-3)(6-4)(6-5)=√36=6 см 2

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
1) угол COB равен углу AOD, т.к. они вертикальные (вертикальные углы-это такие углы у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла, и образуются при пересечении двух прямых)

2) AO=OB, т.к. О является серединой данной прямой, а значит делит ее на две равные части.

3) OC=OD смотри пункт выше.

ВЫВОД: треугольник COB равен треугольнику AOD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

P.s. Первый признак равенства треугольников-если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны
Второй признак равенства треугольников - если сторона и два прилежащих к ней угла соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней угла другого треугольника, то такие треугольники равны
Третий признак равенства треугольников - если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны
 :)