Варіант 1
1) Сторони прямокутного трикутника дорівнюють 6 см, 8 см, 10 см. Знай-
діть радіус кола, вписаного в цей трикутник.
2) Утрикутнику ABC ZA = 60°. Радіус кола, вписаного в трикутник
АВС, дорівнює 2,7 см. Знайдіть відстань від центра кола до вершини
А трикутника ABC.
3) Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 28 см. Точкою до-
тику вписаного кола вона ділиться у відношенні 4:3, починаючи від
вершини трикутника. Знайдіть периметр трикутника.
Варiант 2
1) Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює 1 см. Знай-
діть периметр трикутника, якщо його катети дорівнюють 3 см і 4 см.
2) У трикутнику MPK ZP = 60°. Відстань від центра вписаного у трикут-
ник кола до вершини Рдорівнює 9,8 см. Знайдіть радіус цього кола.
3) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 36 см, а бічна сторона
ділиться точкою дотику вписаного кола у відношенні 5:2, починаючи
від вершини трикутника. Знайдіть сторони трикутника.
Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала.
Тогда вектор АО{3,5;0,5}, а вектор ВО{2,5;-2,5}.
Это половины диагоналей и угол между ними находим по формуле:
cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]. В нашем случае:
cosα=(3,5*2,5+0,5*2,5)/[√(3,5²+0,5²)*√(2,5²+(-2,5)²)].
cosα=(8,75+1,25)/[√(12,25+0,25)*√(6,25+6,25)]. Или
cosα=10/12,5=0,8. Значит угол α≈36°
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение находим по формуле: (a,b)=x1*x2+y1*y2.
Вектор АВ{1;3}
Вектор ВС{6;-2}
(ABxBC)=6+(-6)=0.
Значит стороны АВ и ВС перпендикулярны.
Следовательно, АВСD - прямоугольник.
Если повернуть фигуру вместе с точкой M на 60° вокруг центра окружности, то точка M перейдет в точку N, лежащую уже на дуге BC (треугольник при этом перейдет сам в себя). Ясно, что NB = MA, NC = MB.
Поэтому MBNC - равнобедренная трапеция (то есть MC II BN); (внимание, это предложение и есть, собственно, решение задачи)
Поскольку угол этой трапеции при основании MC равен 60° независимо от положения точки M (это вписанный угол, опирающийся на дугу в 120°), проекции равных боковых сторон MB и NC на основание MC равны их половинам, откуда и следует, что основание MC равно сумме второго основания NB = MA и боковой стороны NC = MB;
то есть MC = MA + MB