Вариант 1 1. Даны точки А, В и С такие, что AB = 12 см, вс = 19 см, AC = 7 см.
Сколько плоскостей можно провести через точки A, B и С? ответ обо-
снуйте.
2. Плоскость а проходит через вершины АиФ параллелограмма ABCD
и точку 0 пересечения его диагоналей. Докажите, что прямая ВС ле-
жит в плоскости а.
3. Точки М и N принадлежат соответственно
S
граням SAB и SAC пирамиды SABC
(рис. 1). Постройте точку пересечения
M м
прямой MN с плоскостью ABC.
N.
В.
4. Постройте сечение пирамиды SABC пло-
скостью, проходящей через точки D, E и
F, принадлежащие соответственно рёбрам
AB, BC и SC, причём прямые DE и АС не Рис. 1
параллельны.
5. Точка М принадлежит ребру СС, куба ABCDABCD. Постройте
прямую пересечения плоскостей A,DM и D,B,A.
6 ед.
Объяснение:
В правильной усеченной пирамиде в основаниях лежат правильные многоугольники, стороны которых соответственно равны между собой. Боковые грани такой пирамиды - равные между собой равнобокие трапеции. Радиусы окружностей, вписанных в основания, проведенные в точки касания сторон оснований с соответственной окружностью Н и Н1, перпендикулярны к сторонам оснований по свойству радиусов, проведенных в точки касания.
Проведем перпендикуляр из точки касания Н1М верхнего основания на нижнее основание. Тогда отрезок Н1Н перпендикулярен стороне основания АВ по теореме о трех перпендикулярах, то есть является искомой высотой боковой грани.
В прямоугольном треугольнике НН1М угол ∠НН1М = 30° по сумме острых углов. Следовательно, НН1 = 2·НМ по свойству катета, лежащего против угла 30°.
НМ = ОН - О1Н1 = 8-5 = 3 ед.
Высота боковой грани НН1 = 6 ед.
Периметр ромба равен 8 м.
Объяснение:
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Следовательно ∠KEL = ∠EKL.
∠EOA = ∠EKL (дано). =>
∠KEL = ∠EAO => треугольник EOA равнобедренный.
Кроме того, АВ║LK║EF (так ∠EOA = ∠EKL соответствкнные углы при АВ и LK и секущей ЕК).
Значит ЕА = АО =1м.
АО = ОВ (так как точка О - точка пересечения диагоналей ромба).
AEFB - параллелограмм (так как АВ║EF и EA║FB). =>
EF =AB = 2·AO = 2 м.
Итак, сторона ромба равна 2м, тогда его периметр равен 8м (стороны ромба равны).