Вектори а, в і с попарно перпендикулярні
|а|=3, |в|=|с|=6. Знайдіть модуль вектора m=a+b+c.

Рассмотрим прямоугольный ΔBCD

CD = 5√3 известный катет

BD - катет против угла в 30 градусов, его длина x

ВС - гипотенуза, её длина 2х

запишем теорему Пифагора для ΔBCD

(5√3)² + x² = (2x)²

25*3 + x² = 4x²

25*3 = 3x²

25 = x²

x = 5

BD = 5

BC = 2x = 10

---

Рассмотрим прямоугольный ΔABD

AD = 12 по условию, катет

BD = 5 из пункта, катет

AB - гипотенуза

по т. Пифагора

AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169

AB = √169 = 13

---

Периметр ΔABC

P(ΔABC) = AB + BC + CD + AD = 13 + 10 + 5√3 + 12 = 35 + 5√3

---

теорема синусов для ∠A

sin(∠A)/BC = sin(∠C)/AB

sin(∠A)/10 = sin(30°)/13

sin(∠A) = 1/2 /13 * 10 = 5/13

∠A = arcsin(5/13) ≈ 22.6°

---

∠B найдём из того условия, что сумма всех углов треугольника равна 180°

∠B + ∠A + ∠C = 180°

∠B = 180 - ∠A - ∠C = 180 - 22.6 - 30 = 127.4°

У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
Его можно рассматривать, как 2 соединённых треугольника вершинами в разные стороны.
Тогда линия, соединяющая 2 соседние стороны ромба - это средняя линия треугольника и она параллельна основанию, то есть диагонали.
Аналогично, рассматривая второй треугольник, у него тоже средняя линия параллельна основанию и паралленльна первой линии.
Теперь можно перейти к другой  диагонали и получит аналогичный результат  - линии, соединяющие середины ромба, параллельны между собой и диагоналям.
То есть, между ними углы по 90 градусов - это и есть доказательство того, что если последовательно соединить середины сторон ромба, то получится прямоугольник.