Вершины B и D треугольников ABC и ADC лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС, АВ = ВС, AD = DC. Точка К лежит на луче BD так, что точка D лежит между точками B и K. Докажите, что треугольники ADK и СDK равны.
1. Задача 1. решена пользователем ХироХамаки Новичок (решение в файле)
2. Условие задачи 2. неточное. Должно быть: Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости α. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АВ = 5, АС = 6, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен 60 градусам.
Проведем ВН⊥АС и ВО⊥α. ВО - искомое расстояние. ОН - проекция ВН на плоскость α, значит ОН⊥АС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. ∠ВНО = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника. АН = НС = 6/2 = 3 (ВН - высота и медиана равнобедренного треугольника) ΔАВН: по теореме Пифагора ВН = √(АВ² - АН²) = √(25 - 9) = √16 = 4 ΔВНО: ВО = ВН · sin 60° = 4 · √3/2 = 2√3
3. АО⊥α, ОВ и ОС - проекции наклонных АВ и АС на плоскость α, тогда ∠АВО = ∠АСО = 60°. ΔАВО = ΔАСО по катету и противолежащему острому углу (АО - общий катет и ∠АВО = ∠АСО = 60°), значит АВ = АС = 6.
Если обозначить прямоугольник АВСД а серединный перпендикуляр к диагонали AC - ОК. Точка К-принадлежит стороне ВС Точка О-точка пересечения диагоналей АС и ВД (она же середина этих диагоналей) Для решения просто проведем прямую параллельно основанию АД через точку пересечения диагоналей АС и ВД. Она пересекает стороны АВ и СД в точках Н и М. Обозначим угол пересечения диагоналей СОД = а В треугольнике СОМ угол СОМ равен половине угла пересечения диагоналей a/2 В прямоугольном треугольнике КОС угол ОСК также равен a/2 По условию угол ОКС = a Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Следовательно можно записать 90+a+a/2=180 (3/2)a=90 a=60 градусов. ответ: 60 градусов
ХироХамаки Новичок
(решение в файле)
2. Условие задачи 2. неточное. Должно быть:
Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости α. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АВ = 5, АС = 6, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен 60 градусам.
Проведем ВН⊥АС и ВО⊥α.
ВО - искомое расстояние.
ОН - проекция ВН на плоскость α, значит ОН⊥АС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.
∠ВНО = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника.
АН = НС = 6/2 = 3 (ВН - высота и медиана равнобедренного треугольника)
ΔАВН: по теореме Пифагора
ВН = √(АВ² - АН²) = √(25 - 9) = √16 = 4
ΔВНО: ВО = ВН · sin 60° = 4 · √3/2 = 2√3
3. АО⊥α, ОВ и ОС - проекции наклонных АВ и АС на плоскость α, тогда
∠АВО = ∠АСО = 60°.
ΔАВО = ΔАСО по катету и противолежащему острому углу (АО - общий катет и ∠АВО = ∠АСО = 60°), значит
АВ = АС = 6.
а серединный перпендикуляр к диагонали AC - ОК.
Точка К-принадлежит стороне ВС
Точка О-точка пересечения диагоналей АС и ВД (она же середина этих диагоналей)
Для решения просто проведем прямую параллельно основанию АД через
точку пересечения диагоналей АС и ВД.
Она пересекает стороны АВ и СД в точках Н и М.
Обозначим угол пересечения диагоналей СОД = а
В треугольнике СОМ угол СОМ равен половине угла пересечения диагоналей a/2
В прямоугольном треугольнике КОС угол ОСК также равен a/2
По условию угол ОКС = a
Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.
Следовательно можно записать
90+a+a/2=180
(3/2)a=90
a=60 градусов.
ответ: 60 градусов