вершины прямоугольника лежат на сторонах квадрата так, как показано на рисунки (вложение), и делят его стороны в отношении 1:2. найдите сторону квадрата, если периметр прямоугольника равен 22.
проведём диагональ АС в квадрате АВСД. Она делит квадрат на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольника в которых стороны квадрата являются катетами а диагональ АС - гипотенуза. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника будет в √2 раз больше чем катет, поэтому АС=4√2
Так как МН равноудалена от сторон квадрата, то АН=НС=4√2÷2=2√2.
У нас получился прямоугольный треугольник АМН, в котором АН и МН - катеты, а АС гипотенуза. Найдём АМ по теореме Пифагора:
А²=АН²+МН²=(2√2)²+1²=4×2+1=8+1=9; АМ=√9=3
ОТВЕТ: АМ=3
№4а
Проведём высоту АН и ВЕ. В равностороннем треугольнике высота также является биссектрисой и медианой, которая делит ВС пополам, поэтому СН=ВН=3÷2=1,5. Также АН делит ∆АВС на 2 равных прямоугольных треугольника в котором АН, СН, ВН - катеты, а АС - гипотенуза. Найдём АН по теореме Пифагора:
АН²=АС²–СН²=3²–(1,5)²=9–2,25=6,75
АН=√6,75=√2,25×√3=1,5√3
Точка пересечения медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров совпадают и является ортоцентром треугольника, который равноудалён от каждой его вершины. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника, поэтому
обозначим пропорции как х и 2х, и зная, что АН=1,5√3, составим уравнение:
х+2х=1,5√3
3х=1,5√3
х=1,5√3÷3=0,5√3
Итак: ОН=0,5√3, тогда АО=0,5√3×2=√3
У нас получился прямоугольный треугольник АМО, в котором МО и АО - катеты, а АМ - гипотенуза. Найдём АМ по теореме Пифагора:
3в. МА = 3 ед.
4а. АМ = 2 ед.
Объяснение:
3в. Так как МА=МВ=МС=МD, тоAH=BH=CH=DH (если равны наклонные, то равны и их проекции) АС = 4√2, как диагональ квадрата со стороной =4.
АН = 4√2/2 = 2√2. (половина диагонали) =>
По Пифагору: МА = √(МН²+АН²) = √(1+8) = 3 ед.
4а. В правильном треугольнике АВС высота=медиана=биссектриса.
Центр этого треугольника лежит на пересечении высот (медиан, биссектрис). Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
АН = (√3/2)·а - формула.
АО = (2/3)·(√3/2)·а - из свойства медиан. АО = (2/3)·(√3/2)·3 = √3ед.
АМ = √(МО²+АО²) = √(1+3) = 2 ед .
Объяснение:
№3в
проведём диагональ АС в квадрате АВСД. Она делит квадрат на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольника в которых стороны квадрата являются катетами а диагональ АС - гипотенуза. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника будет в √2 раз больше чем катет, поэтому АС=4√2
Так как МН равноудалена от сторон квадрата, то АН=НС=4√2÷2=2√2.
У нас получился прямоугольный треугольник АМН, в котором АН и МН - катеты, а АС гипотенуза. Найдём АМ по теореме Пифагора:
А²=АН²+МН²=(2√2)²+1²=4×2+1=8+1=9; АМ=√9=3
ОТВЕТ: АМ=3
№4а
Проведём высоту АН и ВЕ. В равностороннем треугольнике высота также является биссектрисой и медианой, которая делит ВС пополам, поэтому СН=ВН=3÷2=1,5. Также АН делит ∆АВС на 2 равных прямоугольных треугольника в котором АН, СН, ВН - катеты, а АС - гипотенуза. Найдём АН по теореме Пифагора:
АН²=АС²–СН²=3²–(1,5)²=9–2,25=6,75
АН=√6,75=√2,25×√3=1,5√3
Точка пересечения медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров совпадают и является ортоцентром треугольника, который равноудалён от каждой его вершины. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника, поэтому
обозначим пропорции как х и 2х, и зная, что АН=1,5√3, составим уравнение:
х+2х=1,5√3
3х=1,5√3
х=1,5√3÷3=0,5√3
Итак: ОН=0,5√3, тогда АО=0,5√3×2=√3
У нас получился прямоугольный треугольник АМО, в котором МО и АО - катеты, а АМ - гипотенуза. Найдём АМ по теореме Пифагора:
АМ²=АО²+МО²=(√3)²+1²=3+1=4; МО=√4=2
ОТВЕТ: МО=2