Вершины треугольника ABC лежат на окружности, AB:BC=2:3. Точка D делит дугу AC пополам. Отрезок BD пересекает сторону AC в точкеE. Через точку E проведена хорда KM, причем KE = 4 см, ME = 6 см. Найдите AC.
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Говоря о средней линии, третью сторону треугольника будем называть основанием.
Так, на рис. 1 показана средняя линия KL треугольника ABC. В этом случае мы называем
основанием сторону AC.
A
B
C
K L
Рис. 1. Средняя линия
Теорема о средней линии. Средняя линия треугольника: 1) параллельна основанию; 2) равна половине основания.
Доказывая теорему о средней линии, мы продемонстрируем один приём, который бывает
полезен в задачах. А именно, мы как бы заходим с другой стороны: вместо того, чтобы проводить среднюю линию и доказывать параллельность, мы проводим через середину стороны
прямую, параллельную основанию, и показываем, что получится средняя линия.
Доказательство. Пусть K — середина стороны AB треугольника ABC. Проведём KL параллельно основанию AC (рис. 2). Имеем: ∠BKL = ∠BAC (как соответственные углы при
параллельных прямых KL и AC).
A
B
C
K L
M
Рис. 2. К теореме о средней линии
Проведём также LM k AB. Имеем: ∠MLC = ∠ABC (снова как соответственные углы).
Кроме того, четырёхугольник AKLM — параллелограмм по построению. По свойству параллелограмма LM = AK и, стало быть, LM = KB.
Таким образом, треугольники KBL и MLC равны по стороне и двум прилежащим к ней
углам. Следовательно, BL = LC (эти стороны являются соответствующими, так как лежат
напротив равных углов), и потому KL — средняя линия. Итак, средняя линия параллельна
основанию — первое утверждение теоремы доказано.
1
Из равенства треугольников KBL и MLC следует также, что KL = MC. Вместе с тем, по
свойству параллелограмма имеем KL = AM. Значит, M — середина AC, и KL = AC/2. Тем
самым доказано второе утверждение теоремы.
Теорема о средней линии, очень важная сама по себе, позволяет доказать также весьма
важную теорему о медианах треугольника.
Теорема о медианах. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой
точкой в отношении 2 : 1 (считая от вершины треугольника).
Доказательство. Докажем прежде всего, что две медианы делятся точкой пересечения в
отношении 2 : 1, считая от вершины.
Пусть медианы AL и CK треугольника ABC пересекаются в точке O (рис. 3). Пусть также
M — середина CO и N — середина AO.
A
B
C
K L
MN
O
Рис. 3. К теореме о медианах
Отрезок KL есть средняя линия в треугольнике ABC; по теореме о средней линии имеем
KL k AC и KL = AC/2.
Отрезок NM есть средняя линия в треугольнике AOC, поэтому NM k AC и NM = AC/2.
Следовательно, KL k NM и KL = NM. Таким образом, в четырёхугольнике KLMN две
стороны равны и параллельны, и потому KLMN — параллелограмм. Поскольку диагонали
параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, имеем KO = OM и LO = ON. Отсюда
следует, что AO = 2OL и CO = 2OK, то есть медианы AL и CK делятся точкой O в отношении
2 : 1, считая от вершин.
Нам остаётся доказать, что третья медиана BP также проходит через точку O. В самом
деле, предположим, что медианы BP и AL пересекаются в точке O1. Тогда, как мы только что
доказали, должно быть выполнено равенство AO1 : O1L = 2 : 1. Но ведь и AO : OL = 2 : 1;
следовательно, точка O1 совпадает с O. Теорема доказана.
Задачи
1. Докажите, что три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.
2. Дан треугольник с периметром 6. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах
сторон данного треугольника.
3
2
3. Две стороны треугольника равны a и b. Через середину третьей стороны проведены прямые,
параллельные двум другим сторонам. Найдите периметр получившегося четырёхугольника.
b +a
4. Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
5. В четырёхугольнике сумма длин диагоналей равна 5. Найдите периметр четырёхугольника
с вершинами в серединах сторон данного,
5
6. Диагональ прямоугольника равна 1. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в
серединах сторон прямоугольника.
2
7. Диагонали ромба равны 6 и 10. Найдите стороны и углы четырёхугольника с вершинами в
серединах сторон этого ромба.
◦ 90 3, 5, 3, 5; все углы равны
8. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого
угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.
9. Докажите, что отрезок, соединяющий середины сторон AB и AC треугольника ABC, и
медиана, проведённая из вершины A, делят друг друга пополам.
10. Угол A ромба ABCD равен 45◦
, проекция стороны AB на сторону AD равна 10. Найдите
расстояние от центра ромба до его стороны.
5
11. Расстояние между серединами перпендикулярных хорд AC и BC окружности равно 7.
Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения этих хорд.
Объяснение:
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону
Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной и делящий угол при вершине пополам.
1) ON – медиана треугольника МОК – неверно, на чертеже нет никаких данных о том, что точка N –середина отрезка МК
2) ON – высота треугольника МОК – неверно, на чертеже нет никаких данных о том, что ∠MNO=90°.
3) ЕН – высота треугольника DEC – верно, так как ∠EHD=90°
4) BP – медиана треугольника АВD – верно, так как AР=РD=7, то есть, точка Р -середина отрезка AD
5) ВР – биссектриса треугольника ABD – неверно, на чертеже нет никаких данных о том, что ∠ABP
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Говоря о средней линии, третью сторону треугольника будем называть основанием.
Так, на рис. 1 показана средняя линия KL треугольника ABC. В этом случае мы называем
основанием сторону AC.
A
B
C
K L
Рис. 1. Средняя линия
Теорема о средней линии. Средняя линия треугольника: 1) параллельна основанию; 2) равна половине основания.
Доказывая теорему о средней линии, мы продемонстрируем один приём, который бывает
полезен в задачах. А именно, мы как бы заходим с другой стороны: вместо того, чтобы проводить среднюю линию и доказывать параллельность, мы проводим через середину стороны
прямую, параллельную основанию, и показываем, что получится средняя линия.
Доказательство. Пусть K — середина стороны AB треугольника ABC. Проведём KL параллельно основанию AC (рис. 2). Имеем: ∠BKL = ∠BAC (как соответственные углы при
параллельных прямых KL и AC).
A
B
C
K L
M
Рис. 2. К теореме о средней линии
Проведём также LM k AB. Имеем: ∠MLC = ∠ABC (снова как соответственные углы).
Кроме того, четырёхугольник AKLM — параллелограмм по построению. По свойству параллелограмма LM = AK и, стало быть, LM = KB.
Таким образом, треугольники KBL и MLC равны по стороне и двум прилежащим к ней
углам. Следовательно, BL = LC (эти стороны являются соответствующими, так как лежат
напротив равных углов), и потому KL — средняя линия. Итак, средняя линия параллельна
основанию — первое утверждение теоремы доказано.
1
Из равенства треугольников KBL и MLC следует также, что KL = MC. Вместе с тем, по
свойству параллелограмма имеем KL = AM. Значит, M — середина AC, и KL = AC/2. Тем
самым доказано второе утверждение теоремы.
Теорема о средней линии, очень важная сама по себе, позволяет доказать также весьма
важную теорему о медианах треугольника.
Теорема о медианах. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой
точкой в отношении 2 : 1 (считая от вершины треугольника).
Доказательство. Докажем прежде всего, что две медианы делятся точкой пересечения в
отношении 2 : 1, считая от вершины.
Пусть медианы AL и CK треугольника ABC пересекаются в точке O (рис. 3). Пусть также
M — середина CO и N — середина AO.
A
B
C
K L
MN
O
Рис. 3. К теореме о медианах
Отрезок KL есть средняя линия в треугольнике ABC; по теореме о средней линии имеем
KL k AC и KL = AC/2.
Отрезок NM есть средняя линия в треугольнике AOC, поэтому NM k AC и NM = AC/2.
Следовательно, KL k NM и KL = NM. Таким образом, в четырёхугольнике KLMN две
стороны равны и параллельны, и потому KLMN — параллелограмм. Поскольку диагонали
параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, имеем KO = OM и LO = ON. Отсюда
следует, что AO = 2OL и CO = 2OK, то есть медианы AL и CK делятся точкой O в отношении
2 : 1, считая от вершин.
Нам остаётся доказать, что третья медиана BP также проходит через точку O. В самом
деле, предположим, что медианы BP и AL пересекаются в точке O1. Тогда, как мы только что
доказали, должно быть выполнено равенство AO1 : O1L = 2 : 1. Но ведь и AO : OL = 2 : 1;
следовательно, точка O1 совпадает с O. Теорема доказана.
Задачи
1. Докажите, что три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.
2. Дан треугольник с периметром 6. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах
сторон данного треугольника.
3
2
3. Две стороны треугольника равны a и b. Через середину третьей стороны проведены прямые,
параллельные двум другим сторонам. Найдите периметр получившегося четырёхугольника.
b +a
4. Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
5. В четырёхугольнике сумма длин диагоналей равна 5. Найдите периметр четырёхугольника
с вершинами в серединах сторон данного,
5
6. Диагональ прямоугольника равна 1. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в
серединах сторон прямоугольника.
2
7. Диагонали ромба равны 6 и 10. Найдите стороны и углы четырёхугольника с вершинами в
серединах сторон этого ромба.
◦ 90 3, 5, 3, 5; все углы равны
8. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого
угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.
9. Докажите, что отрезок, соединяющий середины сторон AB и AC треугольника ABC, и
медиана, проведённая из вершины A, делят друг друга пополам.
10. Угол A ромба ABCD равен 45◦
, проекция стороны AB на сторону AD равна 10. Найдите
расстояние от центра ромба до его стороны.
5
11. Расстояние между серединами перпендикулярных хорд AC и BC окружности равно 7.
Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения этих хорд.
7
Объяснение: