Войти Регистрация Спроси ai-bota

Внутри прямоугольного треугольника АВС (угол С прямой) взята точка О так, что треугольники ОАВ, ОАС, ОВС равновелики. Найти длину ОС, если известно, что ОA^2+ОВ^2=m.

Показать ответ

Ответ:

reventon1

14.02.2022 16:48

ОС=

$\ \sqrt{ \dfrac{m}{5} }$

Объяснение:

Проведём перпендикуляры ОМ⟂АС и ON⟂BC. Площадь прямоугольного треугольника АВС:

$S = \dfrac{1}{2} \times AC \times BC$

Так как точка О разбивает треугольник ABC на 3 равновеликих треугольника то площадь треугольника АОС будет равна:

$S(AOC) = \dfrac{1}{3} \times S = \dfrac{1}{3 } \times \dfrac{1}{2} \times AC \times BC = \dfrac{1}{6} \times AC \times BC$

С другой стороны:

$S(AOC) = \dfrac{1}{2} \times AC \times OM$

Получаем:

$\dfrac{1}{6} \times AC \times BC = \dfrac{1}{2} \times OM \times AC \\ \\ BC = 3OM \\ \\ OM = \dfrac{1}{3} BC$

Аналогично получаем, что

$ON = \dfrac{1}{3} AC$

Так как ONMC - прямоугольник, то NC=OM, MC=ON.

$AM = AC - MC = AC - \dfrac{1}{3} AC = \dfrac{2}{3} AC$

Аналогично:

$BN = \dfrac{2}{3} \times BC$

Воспользовавшись теоремой Пифагора найдём гипотезы треугольников АОМ, BON, COM:

${OA}^{2} = {AM}^{2} + {OM}^{2} = \dfrac{4}{9} {AC}^{2} + \dfrac{1}{9} {BC}^{2} \\ \\ {OB}^{2} = {BN}^{2} + {ON}^{2} = \frac{4}{9} {BC}^{2} + \frac{1}{9} {AC}^{2} \\ \\ {OC}^{2} = {OM}^{2} + {MC}^{2} = \frac{1}{9 } {BC}^{2} + \frac{1}{9} {AC}^{2}$

Отсюда следует:

${OA}^{2} + {OB}^{2} = \dfrac{4}{9} {AC}^{2} + \dfrac{1}{9} {BC}^{2} + \dfrac{4}{9} {BC}^{2} + \dfrac{1}{9} {AC}^{2} = \\ \\ = \dfrac{5}{9} {AC}^{2} + \dfrac{5}{9} {BC}^{2} = 5( \dfrac{1}{9 } {AC}^{2} + \dfrac{1}{9} {BC}^{2} ) = 5 {OC}^{2}$

Так как по условию задачи

${OA}^{2} + {OB}^{2} = m$

то

$5 {OC}^{2} = m \\ OC = \sqrt{ \dfrac{m}{5} }$

Внутри прямоугольного треугольника АВС (угол С прямой) взята точка О так, что треугольники ОАВ, ОАС,

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия

УЕД

12.07.2022 13:41

Основание прямой призмы авса1в1с1 равнобедренный прямоугольный треугольник, угол авс=90 градусов . боковое ребро призмы равно меньшей стороне основания. вычислите объем призмы если...

ЧайСПеченькой08

12.07.2022 13:41

Число,у которого сумма цифр равна 7...

epometid

12.07.2022 13:41

Прамыя ав и сd перасякаюцца у пункце о. дакажыце, што кали ас||bd и ao=bo то трохвухольники aoc=трохвугольникуodb....

муркот11

30.07.2020 07:02

Прямые пересекают стороны треугольника авс в точках м и к соответственно так, что мк||ас; вм: ам=1: 5.найдите периметор треугольника вмк, если периметор треугольника авс=25см....

fhctybq123

29.04.2020 13:07

Сторноы ab и ad параллелограмма abcd равны соответственно 4^2 и 16 см.abc равен 135 градусов.найдите параллелограмма....

Gobbygo

30.10.2020 13:40

Один из углов при пересечении двух паралельных прямых третьей прямой на 20 градусов меньше другого. найдите остальные углы...

anastasiataraso

02.04.2021 16:32

Дано: АQ= R F, Q R=AF. Доказать равенство треугольников A Q R и R F A....

poli145

27.06.2022 17:38

Дано: ABCD - ромбBD = 10смAC = 4 смНайти: расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба...

fari85851

14.07.2021 19:07

У прямокутній системі координат на тригонометричному колі по- значте точку M, яка відповідає куту 120°. а) Проведіть із точки М перпендикуляри до осей координат. Ви- значте координати...

KatyaTishkina

02.04.2023 13:28

Дан усеченный конус высота которого 12 радиус нижнего основания равен 8 а тангенс угла между образующей и основанием равен 2,4 Найдите площадь верхнего основания этого усеченного...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку