В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование.
Пусть p - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая (рис. 1). Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью p называется параллельной проекцией точки A на плоскость p в направлении прямой l. Обозначим ее A'. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость p считается точка пересечения прямой l с плоскостью p.
Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A' на плоскость p. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость p в направлении прямой l.
Пусть Ф - некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость p образуют фигуру Ф', которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость p в направлении прямой l. Говорят также, что фигура Ф' получена из фигуры Ф параллельным проектированием.
Примеры параллельных проекций дают, например, тени предметов под воздействием пучка параллельных солнечных лучей.
Рассмотрим свойства параллельного проектирования.
Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.
Доказательство. Ясно, что если прямая k параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой на плоскость p будет точка пересечения прямой l и плоскости p. Пусть k не параллельна и не совпадает с прямой l (рис. 2). Возьмем какую-нибудь точку A на прямой k и проведем через нее прямую a, параллельную l. Ее пересечение с плоскостью проектирования p даст точку A', являющуюся проекцией точки A. Через прямые a и k проведем плоскость a . Ее пересечением с плоскостью p будет искомая прямая k', являющаяся проекцией прямой k.
4) Найдите площадь равностороннего треугольника, отсекаемого
от данного треугольника его средней линией,
если площадь данного треугольника равна 48см2.
АВ = 8√3 (из выражения S=а2*√3/2)
S=8√3*√3/4=12
ответ: 12
5) Периметр равностороннего треугольника АВС равен 24см. Найдите длину средней линии этого треугольника.
Р=24 => а=8 => средняя линия равна половине стороны (т.к. равносторонний) , равна 4
ответ: 4
Карточка 2
1) Найти угол АСВ, если угол
АОВ равен 160°
дуга АВ – общая углов АСВ – вписанного и АОВ – центрального => угол АСВ = ½ угла АОВ = 80
ответ: 80
2) Решение:
По формуле а2 + в2 = с2
а=12-4=8, в=15
82 + 152=с2
с= 17
ответ:17
3) Найдите площадь данного равностороннего треугольника, если
площадь треугольника, отсекаемого от него
средней линией, равна 6 см2.
Можно выделить закономерность. Треугольник в равностороннем треугольнике, отсекаемый средней линией будет подобен данному треугольник. Коэффициент подобия будет равен 1/2. Значит в данной задаче нужно умножить 6 на 4.
6*4=24
ответ: 24
4) Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 8см. Найдите периметр этого треугольника
Средняя линия = 8 см => а= 2*8=16
Р=а*3 = 16*3 = 48
ответ: 48 см2
5) Из квадрата со стороной 10см вырезан прямоугольник со сторонами 3см и 4см. Найдите площадь оставшейся части.
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование.
Пусть p - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая (рис. 1). Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью p называется параллельной проекцией точки A на плоскость p в направлении прямой l. Обозначим ее A'. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость p считается точка пересечения прямой l с плоскостью p.
Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A' на плоскость p. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость p в направлении прямой l.
Пусть Ф - некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость p образуют фигуру Ф', которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость p в направлении прямой l. Говорят также, что фигура Ф' получена из фигуры Ф параллельным проектированием.
Примеры параллельных проекций дают, например, тени предметов под воздействием пучка параллельных солнечных лучей.
Рассмотрим свойства параллельного проектирования.
Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.
Доказательство. Ясно, что если прямая k параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой на плоскость p будет точка пересечения прямой l и плоскости p. Пусть k не параллельна и не совпадает с прямой l (рис. 2). Возьмем какую-нибудь точку A на прямой k и проведем через нее прямую a, параллельную l. Ее пересечение с плоскостью проектирования p даст точку A', являющуюся проекцией точки A. Через прямые a и k проведем плоскость a . Ее пересечением с плоскостью p будет искомая прямая k', являющаяся проекцией прямой k.
Карточка 1
1)
АОВ – р/б => АВ=ОВ=8
ответ: 8
2) Найти: угол АСВ, если
угол АОВ = 84°
угол АОВ – центр. Угол , Угол АСВ - вписанный
дуга АВ – общая => угол АСВ = ½ угла АОВ = 42
ответ: 42
3)
22= 1,22 + а2
а=1,6
ответ: 1,6
4) Найдите площадь равностороннего треугольника, отсекаемого
от данного треугольника его средней линией,
если площадь данного треугольника равна 48см2.
АВ = 8√3 (из выражения S=а2*√3/2)
S=8√3*√3/4=12
ответ: 12
5) Периметр равностороннего треугольника АВС равен 24см. Найдите длину средней линии этого треугольника.
Р=24 => а=8 => средняя линия равна половине стороны (т.к. равносторонний) , равна 4
ответ: 4
Карточка 2
1) Найти угол АСВ, если угол
АОВ равен 160°
дуга АВ – общая углов АСВ – вписанного и АОВ – центрального => угол АСВ = ½ угла АОВ = 80
ответ: 80
2) Решение:
По формуле а2 + в2 = с2
а=12-4=8, в=15
82 + 152=с2
с= 17
ответ:17
3) Найдите площадь данного равностороннего треугольника, если
площадь треугольника, отсекаемого от него
средней линией, равна 6 см2.
Можно выделить закономерность. Треугольник в равностороннем треугольнике, отсекаемый средней линией будет подобен данному треугольник. Коэффициент подобия будет равен 1/2. Значит в данной задаче нужно умножить 6 на 4.
6*4=24
ответ: 24
4) Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 8см. Найдите периметр этого треугольника
Средняя линия = 8 см => а= 2*8=16
Р=а*3 = 16*3 = 48
ответ: 48 см2
5) Из квадрата со стороной 10см вырезан прямоугольник со сторонами 3см и 4см. Найдите площадь оставшейся части.
4*3=12
102=100
100-12=88 (см2)
ответ: 88 см2
Объяснение: