В правильной усеченной четырехугольной пирамиде диагонали оснований равны 10 см и 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найти высоту усеченной пирамиды.
Объяснение:
1) АВСDA₁B₁C₁D₁- усеченная пирамида , Точки О и О₁ -точки пересечения диагоналей оснований Т.к пирамида правильная , то основания кавдраты.
АВСD- нижнее основание , по т. Пифагора АВ=√(10²:2)=5√2 (см).
A₁B₁C₁D₁-верхнее основание , по т. Пифагора A₁B₁=√(6²:2)=3√2 (см).
2) Проведем через точки О и О₁ отрезки МН и М₁Н₁ перпендикулярно сторонам квадратов.Тк О₁Н₁ ⊥ВС, то SH⊥ВС по т. о трех перпендикулярах . Поэтому линейным углом между плоскостью боковой грани и плоскостью основания будет ∠НН₁М=60°.
3) Рассмотрим сечение , проходящее через МН и М₁Н₁ перпендикулярно сторонам основаниям. В сечении получилась равнобедренная трапеция ММ₁Н₁Н.
Проведем высоты М₁К и Н₁Р в трапеции . Тогда КР=М₁Н₁ =3√2 см , а МК=РН=( 5√2-3√2):2=√2 (см).
АВ = Рabcd : 4 = 12 : 4 = 3 см ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см
ΔABD равнобедренный, поэтому ∠ABD = ∠ADB, BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒ BB₁ = DD₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x. ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°. ∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.
Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится: cos 80° ≈ 0,1736 BB₁ = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2
В правильной усеченной четырехугольной пирамиде диагонали оснований равны 10 см и 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найти высоту усеченной пирамиды.
Объяснение:
1) АВСDA₁B₁C₁D₁- усеченная пирамида , Точки О и О₁ -точки пересечения диагоналей оснований Т.к пирамида правильная , то основания кавдраты.
АВСD- нижнее основание , по т. Пифагора АВ=√(10²:2)=5√2 (см).
A₁B₁C₁D₁-верхнее основание , по т. Пифагора A₁B₁=√(6²:2)=3√2 (см).
2) Проведем через точки О и О₁ отрезки МН и М₁Н₁ перпендикулярно сторонам квадратов.Тк О₁Н₁ ⊥ВС, то SH⊥ВС по т. о трех перпендикулярах . Поэтому линейным углом между плоскостью боковой грани и плоскостью основания будет ∠НН₁М=60°.
3) Рассмотрим сечение , проходящее через МН и М₁Н₁ перпендикулярно сторонам основаниям. В сечении получилась равнобедренная трапеция ММ₁Н₁Н.
Проведем высоты М₁К и Н₁Р в трапеции . Тогда КР=М₁Н₁ =3√2 см , а МК=РН=( 5√2-3√2):2=√2 (см).
ΔРНН₁ -прямоугольный , tg60°=PН₁ /PH , √3=PН₁ /√2 , PН₁ =√6 см.
Поэтому высота усеченной пирамиды √6 см.
ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит
AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см
ΔABD равнобедренный, поэтому
∠ABD = ∠ADB,
BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
BB₁ = DD₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x.
ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°.
∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.
Рассмотрим ΔD₁OB. По теореме косинусов
D₁B² = OD₁² + OB² - 2·OD₁·OB·cos 80°
9/4 = x² + 4x² - 2 · x · 2x · cos80°
9/4 = 5x² - 4x² · cos80°
9/4 = x² (5 - 4cos80°)
x² = 9 / (4(5 - 4cos80°))
x = 3 / (2√(5 - 4cos80°))
BB₁ = 3x = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) или
Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится:
cos 80° ≈ 0,1736
BB₁ = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2