Вокружность вписан прямоугольный треугольник. две большие высоты в треугольнике равны 7 и 24. найдите наименьшую высоту этого треугольника и длину окружности.

Рассмотрим треугольник АОВ. Здесь <OAB=1/2<A. Для этого утверждения мы использовали свойство касательных к окружности: отрезки касательных АВ и АD к окружности, проведенные из одной точки А, равны и составляют равные углы с прямой АО, проходящей через эту точку А и центр окружности О (<OAB=<OAD=1/2<A).
Таким же образом утверждаем, что <ОВА=1/2<В (касательные ВС и ВА проведены к окружности из точки В).
Зная сумму углов треугольника, запишем:
<AOB=180-(<OAB+<OBA)=180-(1/2<A+1/2<B)=180-1/2(<A+<B).
Рассмотрим треугольник COD. Здесь <OCD=1/2<C (касательные CB и CD к окружности проведены из точки С) и <ODC=1/2<D (касательные DC и DA проведены из точки D). Тогда
<COD=180-(<OCD+<ODC)=180-(<1/2<C+1/2<D)=180-1/2(<C+<D).
Зная сумму углов четырехугольника ABCD, запишем:
<A+<B+<C+<D=360,
<A+<B=360-<C-<D.
В выражение <AOB=180-1/2(<A+<B) подставим значение для суммы <A+<B:
<AOB=180-1/2(<A+<B)=180-1/2(360-<C-<D)=1/2(<C+<D). 
Запишем сумму углов АОВ и COD:
<AOB+<COD=1/2(<C+<D) + 180-1/2(<C+<D)=180°, что и требовалось доказать.

1.Треугольник ABC с основанием AC. Из угла A провели высоту AF, а из угла C провели биссектрису СE. O-точка пересечения высоты и биссектрисы. Допустим угол COF=64.Угол СFO=90(Так как AF перпендикулярна BC), отсюда угол OCF=180-90-64=26. Биссектриса разделила угол С на два равных угла FCO   и OCA, FCO=26, значит OCA=26, отсюда угол C=26+26=52. Треугольник ABC-равнобедренный. Значит угол A=C=52, отсюда угол B=180-52-52=76
A=52
C=52
B=76
2.Медианы делят стороны пополам, значит MK проходит через центры сторон AB и BC, отсюда MK-средняя линия треугольника ABC.Средняя линия всегда параллельна основанию.