- проводим перпендикуляр ВВ1 на горизонтальную сторону угла;
ВВ1 и будет одной из высот ещё не построенного треугольника АВС;
- поскольку треугольник АВ1В равнобедренный прямоугольный, то его медиана B1C2, проведённая из вершины прямого угла и задаёт направление будущей второй высоты ∆АВС, проведённой к стороне АВ. Заодно по пути заметим, что длина этой медианы равна 3.Где же искать вершину С?
Пока нам известно, что точка Н где-то на высоте ВВ1, направление СН перпендикулярно прямой АВ, СН=3 ( как и отрезок В1С2). Где Н? Где С?
Построив параллелограмм В1С2НС, мы и обнаружим вершину С и вторую высоту (СС1) треугольника АВС.
Поделив медиану С2С на три равные части, легко отыскать точку М.
Из точек С2, М, К опустим перпендикуляры на сторону АС. Построим треугольник АКС, площадь которого требуется найти в задаче.
ММ1:С2D = 2:3
ММ1 = C2D = ∙ 1,5 =
C2D = HB1 = B1C = 1,5
Средняя линия КК1 трапеции М1МНВ1 равна полусумме ММ1 и НВ1
КК1 = 0,5 × (1,5
АС = АВ1 + В1С = 31,5
S∆АКС = 0,5×АС×КК1 = 0,5×4,5
ответ: 5,625
Решить уравнение
(х + 4)(х + 5)3 = (х + 5)(х + 4)3
Решение.
(х + 4)(х + 5)3 - (х + 5)(х + 4)3= 0;
(х + 4)(х + 5)((х + 5)2 – (х + 4)2) = 0;
(х + 4)(х + 5)(х + 5 – х – 4)(х + 5 + х + 4) = 0;
(х + 4)(х + 5)(2х + 9) = 0.
Произведение двух или нескольких выражений равно нулю, если значение хотя бы одного из этих выражений равно нулю, а другие при этом не теряют смысла.
Осталось проверить, есть ли решения среди значений значений х, отличных от -4 и -5.
Если обе части этого уравнения разделить на одно и то же число (x+4)(x+5), не равное нулю, то получим уравнение, равносильное данному на множестве чисел, не равных ни -5, ни -4.
(х + 5)2 = (х +4)2
Квадраты чисел равны в том и только в том случае, если эти числа либо равны, либо противоположны.
Чтобы понять, надо самому начертить пирамиду, в основании провести высоты (они же и биссектрисы и медианы). Высота пирамиды Н должна попасть в точку пересечения медиан. Отрезки медиан делятся в отношении 1:2. На боковой грани провести апофему А (это высота). Отношение Н/А = 5/7 - это синус угла наклона боковой грани к основе, второй катет этого треугольника равен ОВ = √(7²-5²) = √(49-25) =√24=2√6 - это в тех же единицах, что и Н и А (относительных). Боковое ребро SB как гипотенуза входит в прямоугольный треугольник с Н и частью медианы основы, равной 2*ОВ = 4√6. Тогда SB=√(5²+(4√6)²) = √(25+96)=√121 = 11. Отсюда угол наклона бокового ребра к плоскоcти основания пирамиды равен arc sin 5/11 = 27,0357°
- откладываем АВ=6 (любые 6 равных отрезков);
- проводим перпендикуляр ВВ1 на горизонтальную сторону угла;
ВВ1 и будет одной из высот ещё не построенного треугольника АВС;
- поскольку треугольник АВ1В равнобедренный прямоугольный, то его медиана B1C2, проведённая из вершины прямого угла и задаёт направление будущей второй высоты ∆АВС, проведённой к стороне АВ. Заодно по пути заметим, что длина этой медианы равна 3.Где же искать вершину С?
Пока нам известно, что точка Н где-то на высоте ВВ1, направление СН перпендикулярно прямой АВ, СН=3 ( как и отрезок В1С2). Где Н? Где С?
Построив параллелограмм В1С2НС, мы и обнаружим вершину С и вторую высоту (СС1) треугольника АВС.
Поделив медиану С2С на три равные части, легко отыскать точку М.
Из точек С2, М, К опустим перпендикуляры на сторону АС. Построим треугольник АКС, площадь которого требуется найти в задаче.
ММ1:С2D = 2:3
ММ1 = C2D = ∙ 1,5 =
C2D = HB1 = B1C = 1,5
Средняя линия КК1 трапеции М1МНВ1 равна полусумме ММ1 и НВ1
КК1 = 0,5 × (1,5
АС = АВ1 + В1С = 31,5
S∆АКС = 0,5×АС×КК1 = 0,5×4,5
ответ: 5,625
Решить уравнение
(х + 4)(х + 5)3 = (х + 5)(х + 4)3
Решение.
(х + 4)(х + 5)3 - (х + 5)(х + 4)3= 0;
(х + 4)(х + 5)((х + 5)2 – (х + 4)2) = 0;
(х + 4)(х + 5)(х + 5 – х – 4)(х + 5 + х + 4) = 0;
(х + 4)(х + 5)(2х + 9) = 0.
Произведение двух или нескольких выражений равно нулю, если значение хотя бы одного из этих выражений равно нулю, а другие при этом не теряют смысла.
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:
ответ: -5; -4,5; -4.
Один из моих учеников предложил другой путь.
(х + 4)(х + 5)3 = (х + 5)(х + 4)3
Легко видеть, что числа -4 и -5 являются решениями данного уравнения:
(-4 + 4)(-4 + 5)3 = (-4 + 5)(-4 + 4)3 - верное равенство;
(-5 +4)(-5 + 5)3 = (-5 + 5)(-5 +4)3 - тоже верное равенство.
Осталось проверить, есть ли решения среди значений значений х, отличных от -4 и -5.
Если обе части этого уравнения разделить на одно и то же число (x+4)(x+5), не равное нулю, то получим уравнение, равносильное данному на множестве чисел, не равных ни -5, ни -4.
(х + 5)2 = (х +4)2
Квадраты чисел равны в том и только в том случае, если эти числа либо равны, либо противоположны.
х + 5 = х + 4 или х + 5 = -х -4
или х = -4,5
ответ: -5; -4,5; -4.
Отношение Н/А = 5/7 - это синус угла наклона боковой грани к основе, второй катет этого треугольника равен ОВ = √(7²-5²) = √(49-25) =√24=2√6 - это в тех же единицах, что и Н и А (относительных).
Боковое ребро SB как гипотенуза входит в прямоугольный треугольник с Н и частью медианы основы, равной 2*ОВ = 4√6. Тогда
SB=√(5²+(4√6)²) = √(25+96)=√121 = 11.
Отсюда угол наклона бокового ребра к плоскоcти основания пирамиды равен arc sin 5/11 = 27,0357°