Вокружности с центром в точке о к хорде рк равной радиусу окружности перпендикуляр проведён диаметр см .диаметр сми и хорда рк пересекаются в точке а.длинна отрезка ра равна 11,4 см
На первом вложенном файле приведено доказательство формулы длины биссектрисы
l = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c); (здесь, и далее в таких случаях В - это угол АВС)
Эта формула нам понадобится. Второй вложенный файл - это чертеж к задаче.
По условию
5/6 = МК/СК = МВ/СВ = (АВ/ВС)/2;
АВ/ВС = 10/6 = 5/3.
Поэтому треугольник "египетский", подобный (3,4,5).
Без ограничения общности принимаем длину меньшего катета ВС за 3, тогда АС = 4, АВ = 5; (это просто я выбрал единицу длины, отношение LK/BK от такого выбора не зависит, конечно же).
Используя формулу длины биссектрисы для равнобедренного треугольника ВМС (ВМ = МС = с/2, с - гипотенуза АВС, то есть с = АВ, и заодно a = BC, b = AC для краткости записи), получим
Примечание. То, что треугольник "египетский", на решение совершенно не влияет. На самом деле существенно только то, что он прямоугольный, так как в этом случае СМ = с/2.
В задаче задано отношение k = 5/6 = МК/СК = ВМ/BC = c/(2*a); то есть c/a = 2*k;
Далее в решении получено соотношение KL/BK = a/(a + c); легко привести это к виду
KL/BK = 1/(2*k + 1);
при к = 5/6; KL/BK = 1/(2*(5/6) + 1) = 1/(8/3) = 3/8;
В качестве примера я возьму треугольник (5,12,13) - это тоже прямоугольный треугольник. Я принимаю, что a = 5; (можно взять в качестве a другой катет, получится другой результат).
Тогда 2*k = 13/5; k = МК/СК = 13/10;
KL/BK = 1/(2*k + 1) = 1/(13/5 + 1) = 5/18;
Так что особенность тр-ка АВС в решении данной задачи никакой роли не играет - я получил общее решение для произвольного k = МК/СК.
Сначала как раз про уравнения. Чтобы было понятно, в чем тут китайская хитрость.
Смотрите чертеж, левый рисунок. a = 900; b = 300; z = x/a; t = b/a;
В общем случае задача сводится к кубическому уравнению (раз просили - без уравнений, то и не буду я показывать, как это получается).
z^2*(z + t) = 4*t;
здесь по условию t = 1/3;
z^2*(z + 1/3) = 4/3;
Невооруженным глазом видно, что уравнение имеет корень z = 1; если кому-то не лень - проверьте, что другие корни не вещественные.
(Есть и более важная задача - при каких целых t уравнение имеет целые корни.)
Вот теперь, зная наперед китайские хитрости, я "покажу", как "найти" это решение геометрически. (Сразу предупреждаю, что все дальнейшее - плод 15минутного размышления :))), набрать и нарисовать было дольше.)
1). Берем квадрат и на одной из сторон как на диаметре, построим полуокружность. Из вершины противоположной стороны проведем касательную, и продолжим её до пересечения с продолжением стороны. Очень просто показать, что все условия задачи (t = 1/3) выполнены (раз уж вы просили без, вычислений я опять не привожу, но сразу говорю - они не выходят за рамки теоремы Пифагора). Таким образом, мы показали, что поперечник города равен 900. (ну, понятно же, если еще не сообразили - от северных ворот на юг откладываем 900, проводим перпендикуляр, точку соединяем с "точкой видимости", и получаем "еще одно дерево", и "еще одину окружность". Но дерево только одно, поэтому полученная точка совпадает с южными воротами).
2). Есть и другой, не менее изящный геометрический решения". Он основан на том приятном факте, что образованный треугольник - "египетский". (Здесь, между прочим, возникает уже совсем интересная задача - есть ли такие параметры t, дающие целочисленное решение, помимо тех, что приводят к Пифагоровым треугольникам. Впрочем, её решение очевидно отрицательное.)
В треугольнике со сторонами (3,4,5) разность между катетами составляет как раз 1/3 от меньшего катета. Но нужно еще доказать вот что - если на катете длины 4 "египетского" треугольника отложить от вершины прямого угла 3 и на этом отрезке, как на диаметре, построить окружность, то он коснется гипотенузы. Даказательство этого приведено на третьем рисунке и основано на подобии исходного треугольника и треугольника, "в который вписывается" построенная окружность, а также на том факте, что для "египетского" треугольника радиус вписанной окружности равен 1. Легко видеть, что поперечник города х равен диаметру окружности, вписанной в "египетский" треугольник "в масштабе 3/2", то есть 3. Поэтому вписаная в достроенный треугольник AB'C' окружность совпадает с городской стеной.
(Можно и "дедовскими Центр этой окружности лежит на расстоянии 3/2 от точки В, то есть на расстоянии 4 - 3/2 = 5/2 от точки С, и вместе с расстоянием до АС и отрезком АС от С до точки касания, образует треугольник, подобный "египетскому", то есть его стороны (3/2, 2, 5/2). Легко видеть, что расстояние от центра до АС как раз равно радиусу 3/2.)
Вот собственно и всё. Хитрый китаец Цинь Цзю-шао, живший в 13-м веке (с ума сойти, что знали уже тогда хитрые китайцы), просто отмерил вглубь города от южных ворот утроенное расстояние от точки видимости до этих ворот, тот есть 900 шагов, и попал на северные ворота по только что доказанному свойству "египетского" треугольника.
А вот уже настоящий вопрос. Почему я все слова "решение", "доказательство" и прочее, беру в кавычки? Да потому, что все это - не что иное, как подбора решения с последующим геометрическим обоснованием. Конечно, от этого такие решения не становятся не верными. Но в них есть один существенный изъян, который невозможно преодолеть "чисто геометрически". Это - единственность решения. Её доказать не получится таким Только алгебраически. Если вам скажут, что такой есть - можете умно покивать головой и посмеяться про себя :))) (если вы - воспитаный человек, конечно, для невоспитаных я рецептов не даю :))
На первом вложенном файле приведено доказательство формулы длины биссектрисы
l = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c); (здесь, и далее в таких случаях В - это угол АВС)
Эта формула нам понадобится. Второй вложенный файл - это чертеж к задаче.
По условию
5/6 = МК/СК = МВ/СВ = (АВ/ВС)/2;
АВ/ВС = 10/6 = 5/3.
Поэтому треугольник "египетский", подобный (3,4,5).
Без ограничения общности принимаем длину меньшего катета ВС за 3, тогда АС = 4, АВ = 5; (это просто я выбрал единицу длины, отношение LK/BK от такого выбора не зависит, конечно же).
Используя формулу длины биссектрисы для равнобедренного треугольника ВМС (ВМ = МС = с/2, с - гипотенуза АВС, то есть с = АВ, и заодно a = BC, b = AC для краткости записи), получим
ВК = 2*a*(c/2)*cos(B/2)/(a + c/2) = 2*a*c*cos(B/2)/(2*a + c);
Аналогично для треугольника АВС
BL = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c);
Делим одно на другое, получаем
ВК/BL = (a + c)/(2*a + c);
Дальше - очень простые выкладки (я намеренно не подставляю числа)
ВК = BL*(a + c)/(2*a + c); KL = BL - BK = BL*(1 - (a + c)/(2*a + c)) = BL*a/(2*a + c);
KL/BK = a/(a + c);
При а = 3; c = 5; KL/BK = 3/8;
Примечание. То, что треугольник "египетский", на решение совершенно не влияет. На самом деле существенно только то, что он прямоугольный, так как в этом случае СМ = с/2.
В задаче задано отношение k = 5/6 = МК/СК = ВМ/BC = c/(2*a); то есть c/a = 2*k;
Далее в решении получено соотношение KL/BK = a/(a + c); легко привести это к виду
KL/BK = 1/(2*k + 1);
при к = 5/6; KL/BK = 1/(2*(5/6) + 1) = 1/(8/3) = 3/8;
В качестве примера я возьму треугольник (5,12,13) - это тоже прямоугольный треугольник. Я принимаю, что a = 5; (можно взять в качестве a другой катет, получится другой результат).
Тогда 2*k = 13/5; k = МК/СК = 13/10;
KL/BK = 1/(2*k + 1) = 1/(13/5 + 1) = 5/18;
Так что особенность тр-ка АВС в решении данной задачи никакой роли не играет - я получил общее решение для произвольного k = МК/СК.
Сначала как раз про уравнения. Чтобы было понятно, в чем тут китайская хитрость.
Смотрите чертеж, левый рисунок. a = 900; b = 300; z = x/a; t = b/a;
В общем случае задача сводится к кубическому уравнению (раз просили - без уравнений, то и не буду я показывать, как это получается).
z^2*(z + t) = 4*t;
здесь по условию t = 1/3;
z^2*(z + 1/3) = 4/3;
Невооруженным глазом видно, что уравнение имеет корень z = 1; если кому-то не лень - проверьте, что другие корни не вещественные.
(Есть и более важная задача - при каких целых t уравнение имеет целые корни.)
Вот теперь, зная наперед китайские хитрости, я "покажу", как "найти" это решение геометрически. (Сразу предупреждаю, что все дальнейшее - плод 15минутного размышления :))), набрать и нарисовать было дольше.)
1). Берем квадрат и на одной из сторон как на диаметре, построим полуокружность. Из вершины противоположной стороны проведем касательную, и продолжим её до пересечения с продолжением стороны. Очень просто показать, что все условия задачи (t = 1/3) выполнены (раз уж вы просили без, вычислений я опять не привожу, но сразу говорю - они не выходят за рамки теоремы Пифагора). Таким образом, мы показали, что поперечник города равен 900. (ну, понятно же, если еще не сообразили - от северных ворот на юг откладываем 900, проводим перпендикуляр, точку соединяем с "точкой видимости", и получаем "еще одно дерево", и "еще одину окружность". Но дерево только одно, поэтому полученная точка совпадает с южными воротами).
2). Есть и другой, не менее изящный геометрический решения". Он основан на том приятном факте, что образованный треугольник - "египетский". (Здесь, между прочим, возникает уже совсем интересная задача - есть ли такие параметры t, дающие целочисленное решение, помимо тех, что приводят к Пифагоровым треугольникам. Впрочем, её решение очевидно отрицательное.)
В треугольнике со сторонами (3,4,5) разность между катетами составляет как раз 1/3 от меньшего катета. Но нужно еще доказать вот что - если на катете длины 4 "египетского" треугольника отложить от вершины прямого угла 3 и на этом отрезке, как на диаметре, построить окружность, то он коснется гипотенузы. Даказательство этого приведено на третьем рисунке и основано на подобии исходного треугольника и треугольника, "в который вписывается" построенная окружность, а также на том факте, что для "египетского" треугольника радиус вписанной окружности равен 1. Легко видеть, что поперечник города х равен диаметру окружности, вписанной в "египетский" треугольник "в масштабе 3/2", то есть 3. Поэтому вписаная в достроенный треугольник AB'C' окружность совпадает с городской стеной.
(Можно и "дедовскими Центр этой окружности лежит на расстоянии 3/2 от точки В, то есть на расстоянии 4 - 3/2 = 5/2 от точки С, и вместе с расстоянием до АС и отрезком АС от С до точки касания, образует треугольник, подобный "египетскому", то есть его стороны (3/2, 2, 5/2). Легко видеть, что расстояние от центра до АС как раз равно радиусу 3/2.)
Вот собственно и всё. Хитрый китаец Цинь Цзю-шао, живший в 13-м веке (с ума сойти, что знали уже тогда хитрые китайцы), просто отмерил вглубь города от южных ворот утроенное расстояние от точки видимости до этих ворот, тот есть 900 шагов, и попал на северные ворота по только что доказанному свойству "египетского" треугольника.
А вот уже настоящий вопрос. Почему я все слова "решение", "доказательство" и прочее, беру в кавычки? Да потому, что все это - не что иное, как подбора решения с последующим геометрическим обоснованием. Конечно, от этого такие решения не становятся не верными. Но в них есть один существенный изъян, который невозможно преодолеть "чисто геометрически". Это - единственность решения. Её доказать не получится таким Только алгебраически. Если вам скажут, что такой есть - можете умно покивать головой и посмеяться про себя :))) (если вы - воспитаный человек, конечно, для невоспитаных я рецептов не даю :))