Вопрос 1 Выберите верную формулировку теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

Варианты ответов
В треугольнике против большей стороны лежит меньший угол, а против большего угла лежит меньшая сторона.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.
В треугольнике против меньшей стороны лежит больший угол, а против меньшего угла лежит большая сторона.
Вопрос 2
Верно ли, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов?

Варианты ответов
Верно
Неверно
Вопрос 3
Если два угла треугольника равны, то треугольник ...

Вопрос 4
В треугольнике АВС угол А равен углу С. Чему равна сторона АВ, если длина стороны ВС равна 9 см?

Варианты ответов
6 см
9 см
12 см
Недостаточно данных для ответа на вопрос задачи
Вопрос 5
В треугольнике АВС сторона АВ равна 7 см, а сторона ВС равна 11 см. Сравните углы А и С.

Варианты ответов
∠ А = ∠ С
∠ А < ∠ С
∠ А > ∠ С
Вопрос 6
В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Чему равны углы А и С, если градусная мера угла В равна 30°?
65° и 70°
70° и 75°
65° и 65°
75° и 75°
Вопрос 7
Против какого угла в тупоугольном треугольнике лежит большая сторона?

Вопрос 8
В треугольнике АВС угол А равен 30°, а угол В равен 80°. Верно ли, что сторона ВС больше каждой из сторон АВ и АС?

Варианты ответов
Верно
Неверно
Вопрос 9
В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90°, а угол А равен 45°. Сравните катеты данного треугольника.

АС > BC
AC < BC
AC = BC
Вопрос 10
Длина любой стороны треугольника ... суммы длин двух других его сторон.

Если диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды-равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен "а", то основание (гипотенуза) этого треугольника - диагональ квадрата основания пирамиды равно а√2.
Высота пирамиды - это высота равнобедренного 
прямоугольного треугольника, она равна половине его гипотенузы и равна H = а√2/2 = а/√2.

Так как гипотенуза основания пирамиды - диагональ квадрата, то сторона его равна а√2/√2 = а.
Это означает, что все рёбра пирамиды равны а, боковые грани - равносторонние треугольники.

Отсюда  площадь основания So = a², периметр основания
Р = 4а.
Находим апофему боковой грани: А = а*cos30 = a√3/2.

Площадь боковой поверхности пирамиды:
Sбок = (1/2)А*Р = (1/2)*(а√3/2)*4а = а²√3.

Объём пирамиды V=(1/3)So*H = (1/3)*a²*( а/√2) =
= a³/3√2.

Острый угол между диагоналями прямоугольника равен φ. Найти угол между диагональю прямоугольника и его большей

Дано:

ABCD — прямоугольник,

AC ∩ BD=O,

∠AOD=φ.

Найти: ∠ACD.

Решение:



1) ∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).

ugol mezhdu diagonalyami pryamougolnika raven

2) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Тогда

\[\angle OCD = \frac180}^o} - \angle AOD}}{2} = \frac180}^o} - ({{180}^o} - \varphi )}}{2} = \]

\[ = \frac180}^o} - {{180}^o} + \varphi }}{2} = \frac{\varphi }{2}.\]

(как угол при основании равнобедренного треугольника).

\[\angle ACD = \angle OCD = \frac{\varphi }{2}.\]

ответ: φ/2.



ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika

Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.

∠ACD — вписанный угол, ∠AOD — соответствующий ему центральный угол. Следовательно,

∠ACD=½ ∠AOD=φ/2.

Задача 2. (обратная к задаче 1)

Угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной равен α. Найти меньший угол между диагоналями прямоугольника.

ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika

1) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(так как OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Угол при вершине равнобедренного треугольника

∠COD=180º-2∠OCD=180º-2α.

2) ∠AOD=180º-∠COD (как смежные),

∠AOD=180º-(180º-2α)=180º-180º+2α=2α.

ответ: 2α.

Вывод: острый угол между диагоналями прямоугольника в два раза больше угла между диагональю прямоугольника и его большей стороной.