Вопрос: конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду.их общая высота равна 9/4, а радиус вписанной в конус сферы равен 1.найти разность объемов пирамиды и конуса
Объем пирамиды, как и объем конуса, равен 1/3 произведения площади основания на высоту фигуры. Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат. Основание конуса - вписанный в основание пирамиды круг. Высота дана в условии. Сторона АД основания пирамиды равна диаметру КН основания конуса. Её нужно найти. Построим осевое сечения конуса МКЕ. Оно идентично осевому сечению пирамиды. проведенному через ее апофемы, т.к. образующие конуса совпадают с ними. Это сечение является равнобедренным треугольником, основание КЕ которого равно диаметру конуса и стороне основания пирамиды. Рассмотрим рисунок. Т - точка касания вписанной в конус сферы и образующей конуса ( грани пирамиды). Радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания, перпедникулярен касательной. Прямоугольные треугольники МТО и МНА - подобны, у них общий острый угол при М. МН=9/4=2,25 МО=МН-r= 1,25 По т. Пифагора МТ²=МО²-ТО² МТ²= (2,25)²-1 МТ=0,75 Из подобия треугольников МТ:МН=ТО:КН 0,75:2,25=1:КН 0,75 КН=2,25 КН=3 - это радиус основания конуса и равен половине длины стороны квадрата в основании пирамиды. Площадь АВСД=(2*3²=)36 Объем пирамиды V п=36*2,25:3=27 Площадь основания конуса S=πr²=π*9 Объем конуса V к=π*9*Н:3=π*3²*2,25:3=π*9*0,75=π*6,75 Vп=27=4*6,75 Разность объемов пирамиды и конуса V п- V к=4*6,75-π*6,75=6,75*(4-π) или ≈ 5,8 единиц объема
Основание конуса - вписанный в основание пирамиды круг.
Высота дана в условии.
Сторона АД основания пирамиды равна диаметру КН основания конуса. Её нужно найти.
Построим осевое сечения конуса МКЕ. Оно идентично осевому сечению пирамиды. проведенному через ее апофемы, т.к. образующие конуса совпадают с ними. Это сечение является равнобедренным треугольником, основание КЕ которого равно диаметру конуса и стороне основания пирамиды.
Рассмотрим рисунок.
Т - точка касания вписанной в конус сферы и образующей конуса ( грани пирамиды).
Радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания, перпедникулярен касательной.
Прямоугольные треугольники МТО и МНА - подобны, у них общий острый угол при М.
МН=9/4=2,25
МО=МН-r= 1,25
По т. Пифагора
МТ²=МО²-ТО²
МТ²= (2,25)²-1
МТ=0,75
Из подобия треугольников
МТ:МН=ТО:КН
0,75:2,25=1:КН
0,75 КН=2,25
КН=3 - это радиус основания конуса и равен половине длины стороны квадрата в основании пирамиды.
Площадь АВСД=(2*3²=)36
Объем пирамиды
V п=36*2,25:3=27
Площадь основания конуса
S=πr²=π*9
Объем конуса
V к=π*9*Н:3=π*3²*2,25:3=π*9*0,75=π*6,75
Vп=27=4*6,75
Разность объемов пирамиды и конуса
V п- V к=4*6,75-π*6,75=6,75*(4-π) или ≈ 5,8 единиц объема