Воснові прямої призми лежить рівнобічна трапеція,основи якої дорівнюють 41 см і 9 см,а бічна сторона - 20 см.знайдіть площу повної поверхні призми,якщо її бічне ребро дорівнює меншій діагонвлі основи.

1) Сначала найдем проекции трапеции на большее основание.Они соответственно равны  √ (30² - 24²) = √ 324 = 18 см  и

√ (26² - 24²) = √ 100 = 10 см.

Сумма проекций диагоналей на основание равна сумме оснований (меньшее основание учитывается дважды, а дополнительные отрезки по одному разу). Следовательно   S = (18 + 10) * 24 / 2 = 336 см² 

2) Площадь параллелограмма вычисляется по формуле S = d₁ * d₂* sin α / 2,

где α - угол между диагоналями параллелограмма.

В данном случае   S = d₁ * d₂ * sin 60°/ 2 = d₁ * d₂ * √ 3 / 4

Применим теорему косинусов для выражения сторон параллелограмма через диагонали

(d₁/2)² + (d₂/2)² - 2 *  (d₁/2) * (d₂/2) * cos 60° = (d₁² + d₂² - d₁ * d₂)/4 = 4² = 16

(d₁/2)² + (d₂/2)² - 2 *  (d₁/2) * (d₂/2) * cos 120° = (d₁² + d₂² + d₁ * d₂)/4 = 6² = 36

Получаем систему

d₁² + d₂² - d₁ * d₂ = 64

d₁² + d₂² + d₁ * d₂ = 144

Отняв от второго уравнения первое и разделив на 2, получаем   d₁ * d₂ = 40

Следовательно  S = 40 * √ 3 / 4 = 10 * √ 3 см²

Высота, опущенная на основание, находится по теореме Пифагора:

h^2 = 10^2  -  (16/2)^2 = 36,   h = 6

Площадь равна:

S = 16*6/2 = 48 cm^2

Найдем полупериметр:

р = (16+10+10)/2 = 18 см.

Воспользуемся формулами площади через радиусы вписанной и описанной окружности:

S = pr,   r = S/p = 48/18 = 8/3 cm

S = abc/(4R),   R = abc/(4S) = 16*10*10/(4*48) = 25/3 cm

Центры окружностей находятся на высоте, опущенной на гипотенузу.

Центр описанной окружности находится от основания высоты на расстоянии:

кор(R^2 - 8^2) = кор( 625/9  - 64) = кор(49/9) = 7/3.

Центр вписанной окружности находится на расстоянии r= 8/3 см от основания высоты.

Тогда расстояние между центрами: 8/3 - 7/3 = 1/3.

ответ: r= 8/3 см; R = 25/3 см; 1/3 см.