Вправильной треугольной пирамиде sabc с вершиной s боковое ребро sa равно b. сфера радиуса b/2 касается плоскости sac в точке c и проходит через точку b. найти ∠asc
Я не нашел "школьного" решения, но уж то, что нашел, приведу. Пусть начало координат расположено в середине АС, и ось Z проходит через точку S, а ось Y - через точки С и А. Положение точки В составляет суть задачи. Я полагаю координаты точки С(0,-a, 0), где а - неизвестная величина (половина длины стороны основания). Ясно, что sin(α/2) = a/b; где α – искомый угол ASC; то есть найдя а, найдется и α; Тогда координаты А (0,а,0) S(0,0,√(b^2 - a^2)) Для начала надо составить уравнения сфер, на которых заведомо лежит точка В. Сфера, касающаяся плоскости SAC, то есть плоскости x = 0; имеет радиус b/2; центр лежит на перпендикуляре из точки С к плоскости x = 0; то есть на прямой II оси X. Уже можно записать формулу (x - b/2)^2 + (y + a)^2 + z^2 = (b/2)^2; Вторая сфера, на которой заведомо лежит точка В - это сфера с центром в точке С и радиусом в 2*а. На этой же сфере лежит точка А. Это утверждение означает всего лишь то, что расстояние от В до С равно 2*а, что совершенно очевидно, поскольку в основании пирамиды правильный треугольник. x^2 + (y + a)^2 + z^2 = (2*a)^2; Аналогичное условие можно было бы записать и для точки А, уравнение отличалось бы знаком в слагаемом с y: (y - a) вместо (y + a); Но есть очевидное условие, которое это делает ненужным. Но сначала - третья сфера, уравнение которой просто означает, что расстояние от В до S равно b; x^2 + y^2 + (z - √(b^2 - a^2))^2 = b^2; У нас есть 3 уравнения, которые надо решать совместно. Первое, и самое сильное упрощение состоит в том, что заведомо y = 0; Совершенно очевидно, что точка В должна лежать на плоскости XZ, поскольку она равноудалена от точек А и С. Поэтому уравнения упрощаются (x - b/2)^2 + a^2 + z^2 = (b/2)^2; x^2 + a^2 + z^2 = (2*a)^2; x^2 + (z - √(b^2 - a^2))^2 = b^2; если немного преобразовать, получается x^2 –b*x + (b/2)^2 + a^2 + z^2 = (b/2)^2; или x^2 + z^2 = b*x – a^2; x^2 + z^2 = 3*a^2; x^2 + z^2 – 2*z*√(b^2 - a^2) + b^2 – a^2 = b^2; или x^2 + z^2 = 2*z*√(b^2 - a^2) + a^2 И теперь уже совсем просто – сначала x и z легко выражаются через a; x = 4*a^2/b; z = a^2/√(b^2 - a^2) остается подставить это во второе соотношение x^2 + z^2 = 3*a^2; (4*a^2/b)^2 + a^4/(b^2 – a^2) = 3*a^2; или 16*(a/b)^2 + (a/b)^2/(1 – (a/b)^2) = 3; с учетом sin(α/2) = a/b; получается 16*(sin(α/2))^2 + (sin(α/2))^2/(cos(α/2))^2 = 3; Осталось заметить, что квадраты синуса и косинуса половинных углов выражаются через косинус полного (sin(α/2))^2 = (1 – cos(α))/2; (cos(α/2))^2 = (1 + cos(α))/2; Что приводит к окончательному уравнению 4*x^2 + 2*x – 3 = 0; где x = cos(α); x = (√13 – 1)/4; ответ α = arccos((√13 – 1)/4);
Пусть начало координат расположено в середине АС, и ось Z проходит через точку S, а ось Y - через точки С и А. Положение точки В составляет суть задачи.
Я полагаю координаты точки С(0,-a, 0), где а - неизвестная величина (половина длины стороны основания). Ясно, что sin(α/2) = a/b; где α – искомый угол ASC; то есть найдя а, найдется и α; Тогда координаты А (0,а,0) S(0,0,√(b^2 - a^2))
Для начала надо составить уравнения сфер, на которых заведомо лежит точка В.
Сфера, касающаяся плоскости SAC, то есть плоскости x = 0; имеет радиус b/2; центр лежит на перпендикуляре из точки С к плоскости x = 0; то есть на прямой II оси X. Уже можно записать формулу
(x - b/2)^2 + (y + a)^2 + z^2 = (b/2)^2;
Вторая сфера, на которой заведомо лежит точка В - это сфера с центром в точке С и радиусом в 2*а. На этой же сфере лежит точка А. Это утверждение означает всего лишь то, что расстояние от В до С равно 2*а, что совершенно очевидно, поскольку в основании пирамиды правильный треугольник.
x^2 + (y + a)^2 + z^2 = (2*a)^2;
Аналогичное условие можно было бы записать и для точки А, уравнение отличалось бы знаком в слагаемом с y: (y - a) вместо (y + a); Но есть очевидное условие, которое это делает ненужным. Но сначала - третья сфера, уравнение которой просто означает, что расстояние от В до S равно b;
x^2 + y^2 + (z - √(b^2 - a^2))^2 = b^2;
У нас есть 3 уравнения, которые надо решать совместно. Первое, и самое сильное упрощение состоит в том, что заведомо y = 0; Совершенно очевидно, что точка В должна лежать на плоскости XZ, поскольку она равноудалена от точек А и С. Поэтому уравнения упрощаются
(x - b/2)^2 + a^2 + z^2 = (b/2)^2;
x^2 + a^2 + z^2 = (2*a)^2;
x^2 + (z - √(b^2 - a^2))^2 = b^2;
если немного преобразовать, получается
x^2 –b*x + (b/2)^2 + a^2 + z^2 = (b/2)^2; или x^2 + z^2 = b*x – a^2;
x^2 + z^2 = 3*a^2;
x^2 + z^2 – 2*z*√(b^2 - a^2) + b^2 – a^2 = b^2; или x^2 + z^2 = 2*z*√(b^2 - a^2) + a^2
И теперь уже совсем просто – сначала x и z легко выражаются через a;
x = 4*a^2/b; z = a^2/√(b^2 - a^2)
остается подставить это во второе соотношение x^2 + z^2 = 3*a^2;
(4*a^2/b)^2 + a^4/(b^2 – a^2) = 3*a^2; или 16*(a/b)^2 + (a/b)^2/(1 – (a/b)^2) = 3;
с учетом sin(α/2) = a/b; получается
16*(sin(α/2))^2 + (sin(α/2))^2/(cos(α/2))^2 = 3;
Осталось заметить, что квадраты синуса и косинуса половинных углов выражаются через косинус полного (sin(α/2))^2 = (1 – cos(α))/2; (cos(α/2))^2 = (1 + cos(α))/2;
Что приводит к окончательному уравнению
4*x^2 + 2*x – 3 = 0; где x = cos(α); x = (√13 – 1)/4;
ответ α = arccos((√13 – 1)/4);