Впрямоугольном треугольнике abc угол c=90 проведена высота cd и медиана ce. площади треугольников abc и cde равны соответственно 10 и 3. найти ab не используя из интернета!
Пусть АС=а, ВС=в, АВ=с. Высота в прямоугольном тр-ке, проведённая к гипотенузе: СД=ав/с. Площадь тр-ка АВС: S=ав/2=10 ⇒ ав=20. Площадь тр-ка СДЕ: s=CД·ДЕ/2=ав·ДЕ/2с=10·ДЕ/с ⇒ ДЕ=s·c/10=3c/10. В прямоугольном тр-ке СДЕ ДЕ²=СЕ²-СД². СЕ - медиана, проведённая к гипотенузе, значит СЕ=АВ/2=с/2. ДЕ²=(с/2)²-(20/с)²=(с²/4)-(400/с²)=(с⁴-1600)/4с². Объединим два полученных уравнения стороны ДЕ, одновременно возведя первое в квадрат: 9с²/100=(с⁴-1600)/4с², 36с⁴=100с⁴-160000, 64с⁴=160000, с⁴=2500, с=√50=5√2 - это ответ. Не проверял как эта задача решена в интернете. Надеюсь моё решение будет оригинальным.
Высота в прямоугольном тр-ке, проведённая к гипотенузе: СД=ав/с.
Площадь тр-ка АВС: S=ав/2=10 ⇒ ав=20.
Площадь тр-ка СДЕ: s=CД·ДЕ/2=ав·ДЕ/2с=10·ДЕ/с ⇒ ДЕ=s·c/10=3c/10.
В прямоугольном тр-ке СДЕ ДЕ²=СЕ²-СД².
СЕ - медиана, проведённая к гипотенузе, значит СЕ=АВ/2=с/2.
ДЕ²=(с/2)²-(20/с)²=(с²/4)-(400/с²)=(с⁴-1600)/4с².
Объединим два полученных уравнения стороны ДЕ, одновременно возведя первое в квадрат:
9с²/100=(с⁴-1600)/4с²,
36с⁴=100с⁴-160000,
64с⁴=160000,
с⁴=2500,
с=√50=5√2 - это ответ.
Не проверял как эта задача решена в интернете. Надеюсь моё решение будет оригинальным.