Теорема. Если из какой-нибудь точки провести две касательные к окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны между собой и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного этими касательными.Пусть АВ и АС — касательные к окружности О (черт. 328).Требуется доказать, что АВ =АС и ОА является биссектрисой угла А, т. е. / 1 = / 2.Треугольники ОВА и ОСА прямоугольные, так как касательные АВ и АС перпендикулярны к радиусам ОВ и ОС в точках В и С. Сторона ОА общая. Катеты ОВ и ОС равны, как радиусы одного и того же круга. Прямоугольные треугольники ОВА и ОСА равны по гипотенузе и катету. Отсюда АВ = АС и / 1 = / 2, т. е. ОА есть биссектриса угла А.На этом свойстве касательных основано устройство прибора, называемого центроискателем, который нередко применяется в столярных и слесарных мастерских для отыскания центра круга на различных деталях. Центроискатель (черт. 329) представляет собой угол, составленный из двух деревянных или металлических пластинок, в котором приделана биссектриса этого угла.Центроискатель прикладывают к кругу так, чтобы пластинки стали касательными, и проводят прямую по биссектрисе угла. Затем центроискатель поворачивают и снова проводят прямую по биссектрисе угла. Точка пересечения этих двух прямых и определит центр круга.
Так как BD:CD=1:2, то по свойству биссектрисы, AB:AC=1:2, а так как BK- медиана, то есть точка K делит АС пополам, то AB=AK, то есть треугольник KAB равнобедренный, то есть его биссектриса AE является и медианой одновременно. Это означает, что BE=EK. по свойству медианы это означает что площади треугольников ABE и AEK равны, а так же (так как BK - медиана в ABC) площади ABK и BKC тоже равны. А так как AD - биссектриса, которая желит сторону BC в отношении 1 к 2, то площадь ABD относится к площади ADC так же как 1 к 2 (у этих треугольников общие высоты, а основания находятся в таком отношении). Исходя из того, что площадь ABC есть 60, получаем, что площади треугольников ABK и BKC равны по 30, а ABD и ADC равны 20 и 40 соответственно. Тогда если х - площадь четырехугольника искомого, то площадь BED равна 30-х, площадь ABE равна площади ABD - площадь BED = 20-(30-х) = х-10, но площадь AEK такая же, так как они равновеликие с BED, то есть тоже x-10. Но Площадь ADC = 40 = площадь AEK+ площадь EDCK = x - 10 + x = 2x - 10 = 40, то есть х = 25.
