Впрямоугольный треугольник,длина гипотенузы которого равна 13 см,описана окружность.найдите длины катетов треугольника,если радиус окружности раве 2 см
Против меньшей стороны лежит меньший угол... ось вращения проходит через вершину против стороны 13 и _|_ стороне 14 фигура вращения получится --- такая воронка... радиус основания --- 14 боковая "образующая" --- 13 и внутрь конусообразная воронка с образующей конуса 15... нужно найти и высоту конуса h и радиус основания конуса r... сначала посмотрим бОльший угол --- острый или тупой?? 15^2 = 13^2 + 14^2 - 2*13*14*cosa cosa = (169+196-225) / 364 = 140/364 = 5/13 --- угол острый в треугольнике проведем высоту параллельно оси вращения... по определению косинуса получается, что высота разбивает сторону 14 на отрезки 5 и 9 9 --- это будет радиус конуса-воронки (r)... по т.Пифагора высота этой воронки h^2 = 15^2 - 9^2 = (15-9)(15+9) = 6*24 h = 6*2 = 12 ----------- а она и не понадобилась... площадь поверхности фигуры вращения будет состоять из трех частей: 1)) площадь круга-основания R=14 S = pi*R^2 = 196*pi 2)) боковой части --- трапеции высотой 13 и с основаниями-длинами окружностей с радиусами R и r Sтрапеции = (2*pi*R + 2*pi*r) * 13/2 = 13*pi*(R+r) = 13*pi*23 = 299*pi 3)) боковой поверхности конуса-воронки Sбок.конуса = pi*r*15 = pi*9*15 = 135*pi площадь поверхности фигуры вращения = 196*pi + 299*pi + 135*pi = 630*pi
Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
ось вращения проходит через вершину против стороны 13 и _|_ стороне 14
фигура вращения получится --- такая воронка...
радиус основания --- 14
боковая "образующая" --- 13
и внутрь конусообразная воронка с образующей конуса 15...
нужно найти и высоту конуса h и радиус основания конуса r...
сначала посмотрим бОльший угол --- острый или тупой??
15^2 = 13^2 + 14^2 - 2*13*14*cosa
cosa = (169+196-225) / 364 = 140/364 = 5/13 --- угол острый
в треугольнике проведем высоту параллельно оси вращения...
по определению косинуса получается, что высота разбивает сторону 14 на
отрезки 5 и 9
9 --- это будет радиус конуса-воронки (r)...
по т.Пифагора высота этой воронки h^2 = 15^2 - 9^2 = (15-9)(15+9) = 6*24
h = 6*2 = 12 ----------- а она и не понадобилась...
площадь поверхности фигуры вращения будет состоять из трех частей:
1)) площадь круга-основания R=14
S = pi*R^2 = 196*pi
2)) боковой части --- трапеции высотой 13 и
с основаниями-длинами окружностей с радиусами R и r
Sтрапеции = (2*pi*R + 2*pi*r) * 13/2 = 13*pi*(R+r) = 13*pi*23 = 299*pi
3)) боковой поверхности конуса-воронки
Sбок.конуса = pi*r*15 = pi*9*15 = 135*pi
площадь поверхности фигуры вращения = 196*pi + 299*pi + 135*pi = 630*pi
Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.