Вравнобедренном прямоугольном треугольнике abc катеты равны 2 см. из вершины прямого угла c проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр cd, причем cd=4см. найдите расстояние от точки d до гипотенузы ab.
Искомая прямая будет наклонной к плоскости треугольника АВС. А высота треугольника, проведенная к гипотенузе будет проекцией этой наклонной. По теореме о трех перпендикулярах образовавшаяся из высоты треугольника, наклонной и прямой, перпендикулярной плоскости данного треугольника, будет прямоугольным треугольником.
В треугольнике АВС проведем высоту (и медиану) СК, соединим точки D и К.
DК - наклонная к плоскости треугольника АВС
СК - проекция к наклонной
1) найдем АВ
2) найдем СК;
3) найдем ДК - расстояние от точки D до гипотенузы АВ.
В треугольнике АВС :
АВ - гипотенуза
АВ2=АС2+ВС2
АВ=корень из (2*2+2*2)=2,8(см)
СК - медиана и высота,тогда
треуг.АСК=треуг.СКВ - прямоугольные
АК=КВ=2,8:2=1,4(см)
В треуг.СКВ:
СК - катет
СК2=СВ2-КВ2
СК=корень из (2*2-1,4*1,4)=1,4(см)
Треугольник СDК - прямоугольный
DК - гипотенуза
DК2=СК2+СD2
DК=корень из (4*4+1,4*1,4)=корень из 18=4,2(см)
Искомая прямая будет наклонной к плоскости треугольника АВС. А высота треугольника, проведенная к гипотенузе будет проекцией этой наклонной. По теореме о трех перпендикулярах образовавшаяся из высоты треугольника, наклонной и прямой, перпендикулярной плоскости данного треугольника, будет прямоугольным треугольником.
Высота треугльника=v"2
искомая прямая=v"2+16=v"18 cm.