Вравнобедренном треугольнеке авс с основанием ас проведена медиана вd.найдите градусную меру вdа и авс если внешний угол вск равен 150°.и должен быть чертёж.
Пусть даны два отрезка а и m и угол α. Надо построить ΔАВС такой, что ВС = а, ΔBCD АВ + АС = m.
Решение возможно лишь при а < m т.к. сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.
Построим ΔBCD по двум сторонам (BD = m, ВС = а) и углу между ними (∠В = α).
Проведем серединный перпендикуляр от CD, он пересечет BD в точке А. AD = АС. Получаем искомый ΔBCD, где ВС = а, ΔBCD В = α, АВ + АС = m, т.к. АС = AD.
Если m = а, то в ΔBCD ∠С будет больше ∠D. Серединный перпендикуляр d к стороне CD по теореме 1.1. должен пересекать либо сторону ВС, либо СD.
Докажем, что серединный перпендикуляр пересекает именно BD.
Допустим, d пересекает сторону ВС в точке М, а прямую BD в точке K. Т.к. KD > BD, то ∠KCD < ∠BCD.
По свойству серединного перпендикуляра ΔDKC — равнобедренный, таким образом, ∠KCD = ∠D, но тогда ∠D > ∠BCD (т.к. m > a), то есть в ΔBCD ∠D < ∠С. Противоречие, т.е. d пересекает именно ВD.
Простым перемножением длин отрезков легко показать, что все хорды равны. Отсюда сразу следует, что углы между ними 60 градусов. "Средние" части хорд (у которых длина а/2) образуют равносторонний треугольник. Из соображений симметрии понятно, что центр этого треугольника совпадает с центром нашей окружности (а где еще могут пересекаться перпендикуляры через середины "СРЕДНИХ" ЧАСТЕЙ :))) Нас интересует расстояние до хорды, которое равно радиусу окружности, вписанной в этот треугольник, то есть d = a*корень(3)/12; (напоминаю, что треугольник имеет стороны a/2)
Теперь, зная расстояние от хорды длины а, мы можем вычислить радиус.
Пусть даны два отрезка а и m и угол α. Надо построить ΔАВС такой, что ВС = а, ΔBCD АВ + АС = m.
Решение возможно лишь при а < m т.к. сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.
Построим ΔBCD по двум сторонам (BD = m, ВС = а) и углу между ними (∠В = α).
Проведем серединный перпендикуляр от CD, он пересечет BD в точке А. AD = АС. Получаем искомый ΔBCD, где ВС = а, ΔBCD В = α, АВ + АС = m, т.к. АС = AD.
Если m = а, то в ΔBCD ∠С будет больше ∠D. Серединный перпендикуляр d к стороне CD по теореме 1.1. должен пересекать либо сторону ВС, либо СD.
Докажем, что серединный перпендикуляр пересекает именно BD.
Допустим, d пересекает сторону ВС в точке М, а прямую BD в точке K. Т.к. KD > BD, то ∠KCD < ∠BCD.
По свойству серединного перпендикуляра ΔDKC — равнобедренный, таким образом, ∠KCD = ∠D, но тогда ∠D > ∠BCD (т.к. m > a), то есть в ΔBCD ∠D < ∠С. Противоречие, т.е. d пересекает именно ВD.
Таким образом, задача имеет единственное решение.
Простым перемножением длин отрезков легко показать, что все хорды равны. Отсюда сразу следует, что углы между ними 60 градусов. "Средние" части хорд (у которых длина а/2) образуют равносторонний треугольник. Из соображений симметрии понятно, что центр этого треугольника совпадает с центром нашей окружности (а где еще могут пересекаться перпендикуляры через середины "СРЕДНИХ" ЧАСТЕЙ :))) Нас интересует расстояние до хорды, которое равно радиусу окружности, вписанной в этот треугольник, то есть d = a*корень(3)/12; (напоминаю, что треугольник имеет стороны a/2)
Теперь, зная расстояние от хорды длины а, мы можем вычислить радиус.
R^2 = (a/2)^2 + d^2 = a^2*(1/4 + 3/144) = a^2*39/144; R = a*корень(39)/12;