Все стороны треугольника рав- ны 1. Из середины одной из них на две другие стороны опустили пер- пендикуляры. Найдите расстояние между концами этих перпендикуляров !
Расположение точки В нам неизвестно, но предполагаем, что она находится на окружности.
Угол АВС - вписанный, опирающийся на дугу АС, что и центральный угол АОС. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
Следовательно, возможны два варианта:
1. Точка В лежит на большой дуге АС окружности и
∠АВС = (1/2)·∠АОС = 130:2 = 65°.
2. Точка В лежит на малой дуге АС окружности и тогда дуга АС имеет градусную меру:
4) канонические уравнения прямой АВ; точка A(0;3;-1).
Вектор АВ найден выше: АВ = (-1; -5; 6).
Уравнение АВ: x/(-1) = (y - 3)/(-5) = (z + 1)/6.
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; Направляющий вектор АВ(-1; -5; 6) для параллельной прямой сохраняется. Подставляем координаты точки D(-3;-1;-2).
1. ∠АВС = 65°.
2. ∠АВС = 115°.
Объяснение:
Расположение точки В нам неизвестно, но предполагаем, что она находится на окружности.
Угол АВС - вписанный, опирающийся на дугу АС, что и центральный угол АОС. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
Следовательно, возможны два варианта:
1. Точка В лежит на большой дуге АС окружности и
∠АВС = (1/2)·∠АОС = 130:2 = 65°.
2. Точка В лежит на малой дуге АС окружности и тогда дуга АС имеет градусную меру:
360° - 130° = 230° =>
∠АВС = (1/2)·230° = 115°.
Даны точки A(0;3;-1), B(-1;-2;5), C(1;0;-4), D(-3;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
Находим векторы АВ и АС: АВ = (-1; -5; 6), АС = (1; -3; -3).
Их векторное произведение равно:
i j k| i j
-1 -5 6| -1 -5
1 -3 -3| 1 -3 = 15i + 6j + 3k - 3j + 18i + 5k =
= 33i + 3j + 8k.
Нормальный вектор плоскости АВС это (33; 3; 8).
Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Подставим координаты точки А: 33*0 + 3*3 + 8*(-1) + D = 0.
1 + D = 0. отсюда D = -1.
Получаем уравнение плоскости АВС: 33x + 3y + 8z - 1 = 0.
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС;
Для параллельной плоскости нормальный вектор сохраняется.
Подставим координаты точки D(-3;-1;-2):
33*(-3) + 3*(-1) + 8*(-2) + D = 0,
-99 - 3 - 16 + D = 0,
-118 + D = 0, отсюда D = 118.
Уравнение 33x + 3y + 8z + 118 = 0.
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0
используем формулу:d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |33·(-3) + 3·(-1) + 8·(-2) + (-1)|/ √(33² + 3² + 8²) = |-99 - 3 - 16 - 1|/ √(1089 + 9 + 64) = 119/ √1162 = 17√1162/166 ≈ 3.49095.
4) канонические уравнения прямой АВ; точка A(0;3;-1).
Вектор АВ найден выше: АВ = (-1; -5; 6).
Уравнение АВ: x/(-1) = (y - 3)/(-5) = (z + 1)/6.
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; Направляющий вектор АВ(-1; -5; 6) для параллельной прямой сохраняется. Подставляем координаты точки D(-3;-1;-2).
Уравнение : (x + 3)/(-1) = (y + 1)/(-5) = (z + 2)/6.
6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D(-3;-1;-2) перпендикулярно прямой AB.
Вектор АВ (-1; -5; 6) будет нормальным вектором этой плоскости.
Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Подставим координаты вектора и точки D:
(-1)*(-3) + (-5)*(-1) + 6*(-2) + D = 0.
-4 + D = 0. отсюда D = 4.
Уравнение: (-1)x + (-5)y + 6z + 4 = 0 или с положительным коэффициентом перед х:
x + 5y - 6z - 4 = 0.