Втреугольник abc вписана окружность, точки касания - вопрос №42162460 от lizayka2001 15.03.2023 10:43

Question

Геометрия: Втреугольник abc вписана окружность, точки касания делят cb на отрезки 4 и 5, считая от вершины c. угол a = arcsin3/5. определите площадь треугольника abc.

lizayka2001 · Answer

Так как арксинус угла а 3/5, то угол А острый и его синус равен 3/5.
Воспользуемся свойством касательной: отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны (BL=BK=5, CL=CM=4, AM=AK=x).
Найдем косинус угла А:
$cosA= _{+}^{-} \sqrt{1-sin^{2}A } =_{+}^{-} \sqrt{ \frac{16}{25} }=_{+}^{-} \frac{4}{5}$
Берем cosA=4/5 так как угол А острый.
Потеореме косинусов:
ВС²=АВ²+АС²-2АВ*АС*cosA
81=(x+5)²+(x+4)²-2*(4/5)(x+5)(x+4)
После возведения в квадрат и приведения подобных получим
x²+9x-180=0
D=81+720=801=3√89
x1=-(9/2)+(3/2)√89
x2=-(9/2)-(3/2)√89<0 - не рассматриваем

S=1/2*AC*AB*sinA
$S= \frac{1}{2}(- \frac{9}{2}+ \frac{3}{2} \sqrt{89}+4) (- \frac{9}{2}+ \frac{3}{2} \sqrt{89}+5) \frac{3}{5}=$
$= \frac{3}{10}( \frac{3}{2} \sqrt{89}-0,5) ( \frac{3}{2} \sqrt{89}+0,5) = \frac{3}{10}(( \frac{3}{2} \sqrt{89})^{2} -0,5^{2}) =$
$= \frac{3}{10}( \frac{9}{4}*89- \frac{1}{4})=60$
Втреугольник abc вписана окружность, точки касания делят cb на отрезки 4 и 5, считая от вершины c. у

Втреугольник abc вписана окружность, точки касания делят cb на отрезки 4 и 5, считая от вершины c. у